1 21 十an2X2+∷十anx m) 2 依此类推,线性方程组(1)可化为 (b1-∑ x1十 11 11 (b2-∑a2x x+ 2 2 WX (b-∑ 1 ny x+ n (b,-∑anx) ≠n
[ ( )] 1 2 21 1 23 3 2 22 2 n n b a x a x a x a x = - + +L + ( ) 1 1 1 1 1 11 1 å ¹ = = - n j j j j b a x a x 依此类推,线性方程组(1)可化为 ( ) 1 2 1 2 2 22 2 å ¹ = = - n j j j j b a x a x ( ) 1 1 å ¹ = = - n j i j i ij j ii i b a x a x ( ) 1 1 å ¹ = = - n j n j n nj j nn n b a x a x KKKK KKKK ï ï î ï ï í ì -----(4) ( ) 1 1 1 1 11 1 å= = + - n j j j b a x a x ( ) 1 1 2 2 22 2 å= = + - n j j j b a x a x ( ) 1 1 å= = + - n j i ij j ii i b a x a x ( ) 1 1 å= = + - n j n nj j nn n b a x a x
对(4作迭代过程 (k+1) (k) 1 x b °°J (=1,2,…,m;k=0,1,2,…) 设D=aig(a1 1122 丿nn 则(5)式转化为矩阵形式 x(6+1)=x(6)+D(b-Ax( x(k+1)=x()-D-1Ax()+D-1b (k+1) D1(D-4)x()+D-b
--------(5) ( ) 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) å= + = + - n j k i ij j ii k i k i b a x a x x 对(4)作迭代过程 (i = 1,2,L,n; k = 0,1,2,L) ( , , , ) 11 22 nn 设 D = diag a a L a 则(5)式转化为矩阵形式 ( ) ( k 1 ) ( k ) 1 ( k ) x = x + D b - Ax + - x x D Ax D b ( k + 1 ) ( k ) -1 ( k ) -1 = - + x D D A x D b ( k 1 ) 1 ( k ) 1 ( ) + - - = - + --------(6)
令 0 0 0 21 0 0 A的下三角部分 L 的负矩阵 0 12 In U=/0 A的上三角部分 的负矩阵 00 0 A=D-L-U d-A=l+U
令 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ - - - = 0 0 0 0 0 0 1 2 21 L M O O M L L n n a a a L ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ - - - = 0 0 0 0 0 0 2 12 1 L M O O M L L n n a a a U A = D - L - U D - A = L + U 的负矩阵 A的下三角部分 的负矩阵 A的上三角部分
故迭代过程(6)化为 x(+1)=D-(L+U)x()+Db 令B=D(L+U)f=Db,于是 XX (k+1) Bx )+ f -(7) (k=0,1,2,…) 等价线性方程组为x=Bx+f←Ax=b 称(5式和(7)式为解线性方程组(1)的 jAcobi迭代法(J法) B,为 Jacobi迭代法的迭代矩阵
故迭代过程(6)化为 x D L U x D b ( k 1 ) 1 ( k ) 1 ( ) + - - = + + 令BJ = D -1 ( L + U ), f = D -1 b ,于是 x B x f k J k = + ( + 1 ) ( ) (k = 0,1,2,L) 等价线性方程组为 x B x f = J + Ax = b --------(7) 称(5)式和(7)式为解线性方程组(1)的Jacobi迭代法(J法) BJ为Jacobi 迭代法的迭代矩阵
例1.用 Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4 842 32x 20 11 1 33 14x 12 解 8-3 A=411 1 4300 2 00 D 800 004 000 L 40 2-1 000
例1. 用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - 12 33 20 2 1 4 4 11 1 8 3 2 3 2 1 x x x 解: ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = 2 1 4 4 11 1 8 3 2 A ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 0 0 4 0 11 0 8 0 0 D ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - = 0 0 0 0 0 1 0 3 2 U ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = - 2 1 0 4 0 0 0 0 0 L