计算方法 第三章插值法和最小二乘法 §36三次样条插值
第三章 插值法和最小二乘法 §3.6 三次样条插值
§3.6三次样条插值 什么是样条:是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 1946年, Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数 、三次样条插值函数 定义1.a≤xm,x1八…x≤b为区间a,b一个分割 如果函数S(x)在区间a,b上满足条件
§3.6 三次样条插值 什么是样条: 是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数 一、三次样条插值函数 定义1. a £ x0 , x1 ,L, xn £ b为区间[a,b]的一个分割 如果函数S(x)在区间[a,b]上满足条件 :
(1)S(x),S(x)S"(x)都在区间a,b上连续,即S(x)∈C[a,b (2)S(x)在每个小区邮x,x1上都是三次多项式 则称S(x)为区间[ab]上的三次样条函数 (3)如果函数f(x)在节点x0x1…,x处的函数值为 f(x)=yj=0,1…,n 而三次样条函数S(x)满足 S(x)=yi 则称S(x)为f(x)在[a,b]上的三次样条插值函数
(1) ( ), ( ), ( ) [ , ] , ( ) [ , ] 2 S x S¢ x S¢¢ x 都在区间 a b 上连续 即S x ÎC a b (2) S(x)在每个小区间[xk , xk +1 ]上都是三次多项式 则称 S(x)为区间[a,b]上的三次样条函数 (3) 如果函数f (x)在节点x0 , x1 ,L, xn处的函数值为 f x y j n j j ( ) = , = 0,1,L, 而三次样条函数S(x)满足 S x y j n j j ( ) = , = 0,1,L, 则称S(x)为f (x)在[a,b]上的三次样条插值函数 ------(1)
三次样条插值多项式 a≤x,x1…,x≤b为区间[a,b的一个分割 如果函数f(x)在节点x0,x1…x处的函数值为 f(x)=y,=01,…,n 如果S(x)是f(x)的三次样条插值函数则其必满足 X 0,1 mS(x)=S(x)=y,=1 imS(x)=S(x,)=m,/=1…,n-1 x→)x mS"(x)=S"(x)j=1,…,n-1
二、三次样条插值多项式 如果函数f (x)在节点x0 , x1 ,L, xn处的函数值为 f x y j n j j ( ) = , = 0,1,L, a £ x0 , x1 ,L, xn £ b为区间[a,b]的一个分割 如果S(x)是f (x)的三次样条插值函数,则其必满足 S x y j n j j ( ) = , = 0,1,L, lim ¢( ) = ¢( ) = , = 1, , - 1 ® S x S x m j n j j x x j L lim ¢¢( ) = ¢¢( ), = 1, , - 1 ® S x S x j n j x x j L lim ( ) = ( ) = , = 1, , - 1 ® S x S x y j n j j x x j L ------(2) ï ï î ï ï í ì
S(x)要满足上述四组(共4n-2个)条件 (x)x∈[x0,x1] S(x)在[a,b]上必 然是分段函数围S)=S(x)x∈x,x (3) x)x∈x,1,x (x)是[xk,xl的两点)三次样条插值多项式满足 k=0,1,2,…,n-1j=k,k+1 lim Sk(x)=lim Sk-1(x) x>Ik x→>xk lim Sk(x)=lim Sk-1(x)k=1,2,,,n-1 x→x x→x lim Sk(x)=lim Sk-1(x) 共4n-2个条件 x→>xk x→>xk
S(x)要满足上述四组(共4n - 2个)条件 然是分段函数 即 在 上必 , S(x) [a,b] ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( ) [ , ] 1 1 1 1 2 0 0 1 n n n S x x x x S x x x x S x x x x - Î - Î Î M M ï ï î ï ï í ì S(x) = Sk (x)是[xk , xk +1 ]上的(两点)三次样条插值多项式,满足 k j j S (x ) = y lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® + ® - = lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® ® ¢ = ¢ + - lim ( ) lim ( ) 1 S x S x k x x k x xk k - ® ® ¢¢ = ¢¢ + - k = 1,2,L,n - 1 共4n - 2个条件 k = 0,1,2,L, n -1; j = k,k +1 ------(3) ï ï î ï ï í ì ------(4)