计算方法 第三章插值法和最小二乘法 §34 Newton插值法
第三章 插值法和最小二乘法 §3.4 Newton插值法
§34 Newton插值法 我们知道, Lagrange插值多项式的插值基函数为 1(x)=I X-X j=0,1,2,…,n 形式上太复杂计算量很大并且重复计算也很多 由线性代数的知识可知任何一个n次多项式都可以表示成 1,x-x0,(x-x0)(x-x1)…,(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) 共n+1个多项式的线性组合 那么,是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢?
§3.4 Newton插值法 l (x) j Õ ¹ = - - = n i j i j i i x x x x 0 ( ) ( ) j = 0,1,2,L,n 我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为 形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成 1, , 0 x - x ( )( ), 0 1 x - x x - x ( )( ) ( ) - 0 - 1 - n-1 L, x x x x L x x 共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
显然,多项式组 X-X x-Xo(X-x X X-x X-X 线性无关,因此,可以作为插值基函数 设插值节点为x,函数值为f,i=01…,m h=x+1-x,=0,1,2…,n-1h=maxh 插值条件为P(x)=f,i 设插值多项式P(x)具有如下形式 (x)=ao+a1(x-x)+a2(x-x0)(x-x1)+… +an(x-x0)(x-x1)…(x-xn1)
1, , 0 x - x ( )( ), 0 1 x - x x - x ( )( ) ( ) - 0 - 1 - n-1 L, x x x x L x x 显然，多项式组 线性无关，因此，可以作为插值基函数 , i 设插值节点为 x 函数值为 f i , i = 0,1,L,n hi = xi+1 - xi , i = 0,1,2,L,n - 1 i i h = maxh 插值条件为 P(xi ) = f i , i = 0,1,L,n ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 1 0 1 0 2 0 1 + - - - - = + - + - - + n n a x x x x x x P x a a x x a x x x x L L 设插值多项式P(x)具有如下形式
P(x)应满足插值条件P(x)=f,i=0,1…,n 有P(x)=f P(x1)=f1=ao+a1(x1-x0) P(x2)=f2=ao+an1(x2-x)+a2(x2-x)(x2-x1) f2-fo fi-fo x2-x0x1-x0 再继续下去待定系数的形式将更复杂 为此引入差商和差分的概念
P(x)应满足插值条件 P(xi ) = f i , i = 0,1,L,n 0 0 0 有 P(x ) = f = a ( ) ( ) 1 1 0 1 1 0 P x = f = a + a x - x 0 0 a = f 1 0 1 0 1 x x f f a - - = ( ) ( ) ( )( ) 2 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 P x = f = a + a x - x + a x - x x - x 2 1 1 0 1 0 2 0 2 0 2 x x x x f f x x f f a - - - - - - = 再继续下去待定系数的形式将更复杂 为此引入差商和差分的概念
、差商(均差) 定义1.设f(x)在互异的节点x处的函数值为/,1=0,1…n 称 f x 为(x)关于节点x,x一阶差商(均差) f[r,x,,xxI fLxxk-frx,x,] (≠j≠k 为f(x)关于x,x,x的二阶差商 依此类推
一、差商(均差) 定义1. f x x f i n i i 设 ( )在互异的节点 处的函数值为 , = 0,1,L, 称 [ , ] (i j) x x f f f x x i j i j i j ¹ - - = 为 ( )关于节点 , 一阶差商(均差) i j f x x x ( ) [ , ] [ , ] [ , , ] i j k x x f x x f x x f x x x k j i k i j i j k ¹ ¹ - - = 为f (x)关于xi , xj , xk的二阶差商 依此类推