计算方法 第五章常微分方程数值解 S52 Runge- Kutta法
第五章 常微分方程数值解 §5.2 Runge-Kutta法
§52 Runge-Kuta法 考虑改进 Euler法 Dk=Yx-1+hf(k-L Dk-1 h Dk=Dk+alf(k-lyk1+f(xk Dx) 如果将其改成(1=+2(<1+K2) K,=f(k-1 k-1) (1) K2=f(xk,yk1+hk) yo=y(ro
§5.2 Runge-Kutta法 ( , ) k = k -1 + k -1 k -1 y y hf x y [ ( , ) ( , )] 2 k k 1 k 1 k 1 k k f x y f x y h y = y - + - - + 考虑改进Euler法 如果将其改成 ( ) 2 1 K1 K2 h y y k = k - + + ( , ) 1 = k -1 k -1 K f x y ( , ) 2 1 1 K = f xk yk - + hK ( ) 0 0 ï y = y x ï î ï ï í ì ----------(1)
改进 Euler法是由梯形公式和 Euler公式复合而成 梯形公式具有2阶精度 同样可以证明,改进 Euler法也具有2阶精度 形如(1)式的求解公式称为二阶 Runge-Kutt法 对于 Simpson求解公式: h yk=y1+[f(x-1yk-)+4f(xk12以(xk-1+)+f(xk,yk) 6 这是隐式多步法选取适当的显化方法,可得类似(1) 的高阶 Runge-Kutt方法 以下使用中值定理进行推导
改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成 梯形公式具有2阶精度 形如(1)式的求解公式称为二阶Runge-Kutta法 同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度 对于Simpson求解公式： )) ( , )] 2 , ( 2 [ ( , ) 4 ( 6 k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k f x y h y x h f x y f x h y = y - + - - + - + - + + 这是隐式多步法 选取适当的显化方法,可得类似(1) 的高阶Runge-Kutta方法 以下使用中值定理进行推导
为了同学们课后复习的方便以下的内容将k写成n 、 Runge-Kutt方法的导出 对于常微分方程的边值问题 ∫y=f(x,y) a<xs b 的解y=y(x),在区间x-1xn上使用微分中值定理,有 y(n)-y(rn-1=y(sn-1(rn-x, 5 ∈(xn1rx 即y(xn-1+h)=y(x-1)+y(n-1)
一、Runge-Kutta方法的导出 î í ì = ¢ = £ £ 0 ( ) ( , ) y a y y f x y a x b 对于常微分方程的边值问题 的解 y = y(x), 在区间[xn-1 , xn ]上使用微分中值定理,有 ( ) ( ) ( )( ) -1 -1 - -1 - = ¢ n n n n n y x y x y x x x ( , ) n 1 n 1 n x x - Î - x ( ) ( ) ( ) -1 -1 -1 + = + ¢ n n n 即 y x h y x hy x ----------(3) 为了同学们课后复习的方便,以下的内容将k写成n
引入记号y(xn-1+h)=y(xn1)+hK -(3) K=y(n-1)=fn1)y(n-1) yn=In-1+hK K可以认为是y=y(x)在区间xn1,x上的平均斜率 只要使用适当的方法求出y(x)在区 y=y( 间xn1xn上平均斜率的近似值K 就可得到相应的 Runge-Kut方法 即(4)式
K可以认为是y = y(x)在区间[xn-1 , xn ]上的平均斜率 引入记号 y(xn-1 + h) = y(xn-1 ) + hK ----------(3) ( ) -1 = ¢ n K y x [ , ( )] = n-1 n-1 f x y x x x K y x 间 n n 上平均斜率的近似值 只要使用适当的方法求出 在区 [ , ] ( ) -1 就可得到相应的Runge-Kutta方法 n-1 x n x x y y = y(x) yn = yn-1 + hK ----------(4) 即(4)式 K