计算方法 第三章插值法和最小二乘法 §33分段插值法
第三章 插值法和最小二乘法 §3.3 分段插值法
§33分段插值法 从上节可知如果插值多项式的次数过高,可能产生 Runge现象,因此,在构造插值多项式时常采用分段 插值的方法。 、分段线性 Lagrange插值 1.分段线性插值的构造 设插值节点为x2,函数值为y,=01,…,n x+1-x1,i=0,1, 2…,n-1h=maxh 任取两个相邻的节点x,xk+1,形成一个插值区间x,x+1 构造 Lagrange线性插值
§3.3 分段插值法 从上节可知,如果插值多项式的次数过高，可能产生 Runge现象，因此，在构造插值多项式时常采用分段 插值的方法。 一、分段线性Lagrange插值 , i 设插值节点为 x 函数值为 yi , i = 0,1,L,n , , [ , ] k k +1 k k +1 任取两个相邻的节点x x 形成一个插值区间x x 构造Lagrange线性插值 hi = xi+1 - xi , i = 0,1,2,L,n - 1 i i h = maxh 1. 分段线性插值的构造
L(x)=y/l(x)+y+1k1(x) k=0,1,…,n-1 X-x k+1 X-X X-x k+1 k+1 k L(x)x0≤x<x1 (x)x1≤x<x2 -(2) (x)xn1≤x≤xn 显然 (x1)=y,i=0,1 我们称由(1)2)式构成的插值多项式L1(x)为 分段线性 Lagrange插值多项式
( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 L x y l x y l x k k k k k = + + + 1 1 + + - - = k k k k x x x x y k k k k x x x x y - - + + + 1 1 k = 0,1,L, n - 1 L1 (x) = ï ï î ï ï í ì £ £ £ < £ < - - n n n L x x x x L x x x x L x x x x 1 ( 1) 1 1 2 (1) 1 0 1 (0) 1 ( ) ( ) ( ) M M 显然 L1 (xi ) = yi , i = 0,1,L,n --------(1) --------(2) 我们称由(1)(2)式构成的插值多项式 为 分段线性Lagrange插值多项式 ( ) 1 L x
设x=x*为插值点 若x 则y=L1(x)=(x) 内插 x 次x+1+ykxk+1式 X-X k =xk+1 若x 0 外插 X 取 0 + y 0 若x2x,外插 X 大 取y=L1(x)=L(x) 水一Xn-1 1 n-1-x
设x = x *为插值点 1 * k £ £ k+ 若x x x * ( *) 1 则 y = L x ( *) ( ) 1 L x k = 1 1 * + + - - = k k k k x x x x y k k k k x x x x y - - + + + 1 1 * 0 若x* £ x * ( *) 1 取 y = L x ( *) (0) 1 = L x 0 1 1 0 * x x x x y - - = 1 0 0 1 * x x x x y - - + n 若x* ³ x * ( *) 1 取 y = L x ( *) ( 1) 1 L x n- = n n n n x x x x y - - = - - 1 1 * 1 1 * - - - - + n n n n x x x x y 内插 外插 外插
分段线性插值y=L1(x)的图象 实际上是连接点(xky) i=0,1,…,n的一条折线 也称折线插值,如右图 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 0 减小步长,会改善插值效果 因此若f(x)在[a,b]上连续 lim l(x)=f(x) h→>0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 分段线性插值 的图象 1 ( ) 1 y = L x 的一条折线 实际上是连接点 i n x y k k 0 , 1 , , ( , ) , = L 也称折线插值 ,如右图 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长 ,会改善插值效果 lim ( ) 1 0 L x h ® = f ( x ) 因此 若f ( x ) 在 [ a , b ]上连续 则