动算方没 第六章逐次逼近法 S63非线性方程的迭代法
第六章 逐次逼近法 §6.3 非线性方程的迭代法
§63非线性方程的迭代法 方程是在科学研究中不可缺少的工具 方程求解是科学计算中一个重要的研究对象 几百年前就已经找到但是,对于更高次数 了代数方程中二次至的代数方程目前仍 五次方程的求解公式无有效的精确解法 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法 因此研究非线性方程的数值解法成为必然
§6.3 非线性方程的迭代法 方程是在科学研究中不可缺少的工具 方程求解是科学计算中一个重要的研究对象 几百年前就已经找到 了代数方程中二次至 五次方程的求解公式 但是,对于更高次数 的代数方程目前仍 无有效的精确解法 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法 因此,研究非线性方程的数值解法成为必然
设非线性方程f(x)=0 如果存在一点x*,使得f(x)=0 则称x*为方程(1)的根或零点 如果方程(1)在区间[a,b上只有一个根, 则称[a,b为单根区间 如果方程(1)在区间[a,b]上有多个根, 则称[a,b为多根区间 本节主要研究单根区间上的求解方法
设非线性方程 f ( x) = 0 --------(1) 如果存在一点 x*, 使得 f ( x*) = 0 则称 x * 为方程 (1)的根或零点 如果方程 (1)在区间 [a ,b]上只有一个根， 则称 [a ,b ]为单根区间 如果方程 (1)在区间 [a ,b]上有多个根， 则称 [a ,b]为多根区间 本节主要研究单根区间上的求解方法
、简单迭代法(基本迭代法) 将非线性方程(1)化为一个同解方程 X 并且假设(x)为连续函数 任取一个初值x,代入(2)的右端,得 q(x0) 继续 2=9(x1 xk+1=9(xk)(k=0,1,2灬…) -(3) 称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法
一、简单迭代法(基本迭代法) --------(2) 将非线性方程(1)化为一个同解方程 x = j ( x) 并且假设 j ( x)为连续函数 任取一个初值 x0 ,代入 (2 )的右端 ,得 ( ) 1 0 x = j x ( ) 2 1 x = j x ( ) k 1 k x = j x + 继续 KKK --------(3) (k = 0 ,1,2 ,L) 称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法
称φ(x)为迭代函数,称xA为第k步迭代值 如果存在一点x*使得迭代序列{xk满足 lim x,=x (4) 则称迭代法(3)收敛否则称为发散 如果将(2)式表示为 y=x 与方程(2)同解 y=p(x) y y=x y y=(x) 收敛 11 11x3 q(x)在x*附近较平缓
称j( x)为迭代函数 ,称xk为第 k步迭代值 如果存在一点 x*,使得迭代序列 { xk } ¥ 0 满足 lim x x * k k = ® ¥ 则称迭代法(3)收敛,否则称为发散 --------(4) 2 1 0 O x * x x x y = j( x) y = x 1 3 2 0 O x x x * x x y = j( x) y = x 如果将(2)式表示为 y = j ( x) y = x î í ì 与方程(2)同解 收敛 j ( x )在x * 附近较平缓