计算方法 第四章数值积分与数值微分 §45数值微分
第四章 数值积分与数值微分 §4.5 数值微分
§45数值微分 先看一个实例 已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万) 年份1900191019201930194019501960197019801990 人口76092.010651232131.7150.717932040226.52514 试计算美国20世纪的(相对)年增长率 若记时刻的人口为x(),则人口的增长率为 t r(t) dx/dt如何求 x()
§4.5 数值微分 先看一个实例: 已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万) 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 试计算美国20世纪的(相对)年增长率 若记t时刻的人口为x(t),则人口的增长率为 ( ) ( ) x t dx dt r t = dx dt如何求
插值型求导公式 设函数f(x)不一定给出,但知道(x)在节点处的函数值 a<xn<x1<∴<x.<b n f(xk)=fk,k=0,1,…,n 如果f(x)的n+1阶导数存在,则由 Lagrange插值有 +1) f(x=Ln(x)+ On+1() n+ Ln(x)为f(x)的n次 Lagrange插值多项式 E∈[a,b]并与x有关Om1(x)=∏1(x-x) 0
一、插值型求导公式 设函数f (x)不一定给出,但知道f (x)在节点处的函数值 a x x x b £ 0 < 1 <L< n £ f x f k n k k ( ) = , = 0,1,L, 如果f (x)的n + 1阶导数存在,则由Lagrange插值有 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) x n f f x L x n n n + + + = + w x x Î[a,b]并与x有关 Õ= + = - n j n j x x x 0 1 w ( ) ( ) L n (x)为f (x)的n次Lagrange插值多项式 --------(1)
对(1)式两边求导有 f(x)=L(((on(3)+(+m(x) (n+1) 由于ξ与x有关[f()将很难确定 但是当x=x时,f(x2)可以求出 f(xk)=ln( k)+ [fm+( (n+1) On,+(xk)+ (5) on+(k) (n+1) (n+1) (n+1) (5) (n+1) n+1(~k k=0,1,…,n (n+1) Ln(k)+ (5)m (n+1)!1 k i≠k
对(1)式两边求导,有 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1)! [ ( )] ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) x n f x n f f x L x n n n n n + + + + ¢ + + + ¢ ¢ = ¢ + w x w x 由于x与x有关,[ f (n+1) (x )]¢将很难确定 但是当x = xk时, f ¢(xk )可以求出 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1)! [ ( )] ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) n k n n k n k n k x n f x n f f x L x + + + + ¢ + + + ¢ ¢ = ¢ + w x w x ( ) ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) n k n n k x n f L x + + ¢ + = ¢ + w x Õ ¹ = + - + = ¢ + n j k j k j n n k x x n f L x 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) x --------(2) k = 0,1,L,n
LIx+E k=0,1, En(xk) (x1 (3) +1 ≠k (2)式称为插值型求导公式,(3试为相应产生的误差 由于公式(2)取的是n次 Lagrange插值多项式而高次 插值会产生 Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式
Õ ¹ = + - + = n j k j k j n n k x x n f E x 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) x --------(2) --------(3) (2)式称为插值型求导公式, (3)式为相应产生的误差 由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次 插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式 k = 0,1,L,n ( ) ( ) ( ) k n k n k f ¢ x = L¢ x + E x