计算方法 第二章解线性方程组的直接法 §25平方根法
第二章 解线性方程组的直接法 § 2.5 平方根法
§25平方根法 、对称正定矩阵的三角分解( Cholesky分解) 若n阶矩阵A为对称正定矩阵 则det(4)>0,A′=A 且A的顺序主子式detA>0,k=1,2,…,n 因此4可以进行LU分解(或 Doolittle分解) 记为 其中L为单位下三角阵U为上三角阵
§2.5 平方根法 一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解) 且A的顺序主子式 det Ak > 0, k = 1,2,L, n 若n阶矩阵A为对称正定矩阵 A A A T 则det( ) > 0, = 因此A可以进行LU分解(或Doolittle分解) 记为 A LU ~ ~ = 其中 L为单位下三角阵 U为上三角阵 ~ , ~ , -------------(1)
且对于ADO的任意6阶价顺序主子式4,E,k LU k k=1,2 let Ak=det lk. det Uk=1. ui>0 det k kh det k-1 det a k ->0(记det4=1) det a k-1 以上k=1,2灬…,n
Ak LkUk ~ ~ = det Ak Õ= = × k i ii u 1 ~ 1 Lk Uk ~ det ~ = det × k = 1,2,L,n > 0 det Ak kk k i ii u u ~ ~ 1 1 = Õ × - = k kk A u ~ det 1 = × - kk u ~ det 1 det - = k k A A > 0 ( det 1) 记 A0 = Ak Lk Uk A L U k ~ , ~ , ~ , ~ 且对于 , 的任意 阶顺序主子式 以上 k = 1,2,L,n
因此 12 In n n nn 11 11 11 2 22 22 22 n-1,n nn n-1,n-1 ≌DU1
÷÷÷÷÷÷øö ççççççèæ = nnnnn u u u u u u u u u u U ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 33 3 22 23 2 11 12 13 1 O M LLL ÷÷÷÷÷÷øö ççççççèæ = unn u u u ~ ~ ~ ~ 33 22 11 O ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷øö ççççççççççèæ× - - -1 ~~ 1 ~~ ~~ 1 ~~ ~~ ~~ 1 1, 1 1, 222 22 23 111 11 13 11 12 n n n n nn uuuu uu uu uu uu O LLL =ˆDU1 因此
D=diag( 11/22 )=[diag( 11V22 agonal对角 U=DU=D2 D2U1 -(2) A=D0=D2D21=(LD2)(D21)=LU 3) L=LD2为非奇异下三角阵且L和U的主对角元 为D2的主对角元, U=D21为非奇异上三角阵并且都是正数
) ~ , , ~, ~( D = diag u11 u22 L unn 1 ~U = DU 1 2 1 2 1 = D D U A LU ~ ~ = 1 2 1 2 1 ~ = LD D U 2 11 22 )] ~ , , ~ , ~ [ ( = diag u u L unn Diagonal:对角 )( ) ~ ( 1 2 1 2 1 = LD D U = ˆLU 2 1 ~ L = LD 为非奇异下三角阵 1 2 1 U = D U 为非奇异上三角阵 并且都是正数 为 的主对角元， 且 和 的主对角元 2 1 D L U ----------(2) --------(3)