计算方法 第三章插值法和最小二乘法 §32插值多项式中的误差
第三章 插值法和最小二乘法 §3.2 插值多项式中的误差
§32插值多项式中的误差 、插值余项 从上节可知,y=f(x)的 Lagrange值 Ln(x)=∑y/(x) 满足Ln(x)=f(x)i=0,1,…,n 但x∈[a,b n(x)=f(x)不会完全成立 因此插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢?
§3.2 插值多项式中的误差 一、插值余项 从上节可知, y = f (x)的Lagrange插值 å= = n j n j j L x y l x 0 ( ) ( ) 满足 Ln (xi ) = f (xi ) i = 0,1,L, n 但 "xÎ[a,b] L (x) f (x) n = 不会完全成立 因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
假设在区间a,b]上f(x)插值多项式为P(x) R,(x)=f(x)-p(r 显然在插值节点为x(=01…,n)上 Rn(x)=f(x)-P(x)=0,i=0,1,…,n 因此Rn(x)在[a,b上至少有n+1个零点 设 R, (x=k(xom(x) 其中0m1(x)=(x-x0(x-x1)…(x-xn)K(x)为待定函数 R,(x)=f(x-P(x)=k(xon(x)
[a,b] f (x) P (x) 假设在区间 上 的插值多项式为 n R (x) f (x) P (x) 令 n = - n 显然在插值节点为xi (i = 0,1,L,n)上 ( ) ( ) ( ) n i i n i R x = f x - P x = 0 ,i = 0,1,L,n 因此Rn (x)在[a,b]上至少有n +1个零点 ( ) ( ) ( ) 1 R x K x x 设 n = wn+ ( ) ( )( ) ( ) n 1 0 1 n x = x - x x - x x - x 其中 w + L K(x)为待定函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 R x f x P x K x x n = - n = wn+
f(x)-Pn(x)-k(x)0n1(x)=0 注意t与x 的区分 若引入辅助函数q(1)=f(t)-Pn(1)-K(x)On1(t) 也可令q(t) 则有q(x)=f(x)-P2(x)-K(x)0n+1(x)=0 R(xom+1( R(t)0n+1(x) 且0(x)=f(x)-P(x)-K(x)n+1(x) Rn(x,)-K(x)On+1(x1)=0i=0,1 因此,若令x≠x2p(1)在区间ab上至少有n+2个零点即 (x)=0,(x1) 由于P(x)和on1(x)为多项式因此若f(x)可微,则o(t)也可微
( ) ( ) ( ) ( ) 1 f x P x K x x - n - wn+ = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 t f t P t K x t 若引入辅助函数j = - n - wn+ 则有 j(x) = 0 的区分 注意t与x ( )i 且 j x ( ) ( ) ( ) n i n 1 i R x K x x = - w + = 0 因此,若令x ¹ xi ,j(t)在区间[a,b]上至少有n + 2个零点,即 j(x) = 0 , i = 0,1,L, n j(xi ) = 0 , i = 0,1,2,L, n 由于Pn (x)和wn+1 (x)为多项式,因此若f (x)可微,则j(t)也可微 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 R t x R x t t n n + + - = w w 也可令j ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f x P x K x x = - n - wn+ ( ) ( ) ( ) ( ) i n i n 1 i f x P x K x x = - - w +
根据Roll定理,q(t)在区间(a,b)上有至少n+1个零点 再由Role定理,φ"(t)在区间a,b)上有至少n个零点 依此类推 在区间(a,b内至少有一个点,使得q()的n+阶导数为零 (n+1) (5)=0 p()=f(0)-P(1)-K(x)on+1(t) 由于om(t)=fm+(t)-Pm+(1)-K(x)om+() 因此9()=/"(5)-P(5)-K(x)om f(n(2)-K(x)(n+1)!=0
根据Rolle定理, j¢(t)在区间(a,b)上有至少n +1个零点 再由Rolle定理, j¢¢(t)在区间(a,b)上有至少n个零点 依此类推 在区间(a,b)内至少有一个点x ,使得j(t)的n +1阶导数为零 ( ) 0 ( 1) = + j x n ( ) ( 1) t n+ j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 t f t P t K x t n n+ j = - - w ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) f t P t K x t n n n n n + + + + 由于 = - - w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) j x x x w x + + + + + = - - n n n n n n 因此 f P K x ( ) ( ) ( 1)! ( 1) = - × + + f K x n n x = 0