计算方法 第三章插值法和最小二乘法 §35 Hermite插值法
第三章 插值法和最小二乘法 §3.5 Hermite插值法
§35 Hermite插值法 Newton插值和 Lagrange插值虽然构造比较简单,但都存 在插值曲线在节点处有尖点,不光滑,插值多项式在节 点处不可导等缺点 设f(x)在节点a≤xx1八…,xn≤b处的函数值为yy1…,yn 设P(x)为f(x)的在区间ab]上的具有一阶导数的插值函数 (1)若要求P(x)在[a,b]上具有一阶导数(一阶光滑度) 即P(x)在节点x0,x1…,x处必须满足 P(x1)=f(x)=y;i=0,1 (1) P(x)=f(x)=yi=0,1,…,n
§3.5 Hermite插值法 Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点 ( ) , , , , , , , 0 1 n 0 1 n 设f x 在节点 a £ x x L x £ b处的函数值为y y L y 设P(x)为f (x)的在区间[a,b]上的具有一阶导数的插值函数 即P(x)在节点 x0 , x1 ,L, xn处必须满足 i i i P(x ) = f (x ) = y i i i P¢(x ) = f ¢(x ) = y ¢ (1) 若要求P(x)在[a,b]上具有一阶导数(一阶光滑度) i = 0,1,L, n i = 0,1,L, n --------(1)
共2n+2个方程 可以解出2n+2个待定的系数 因此P(x)可以是最高次数为2n+1次的多项式 两个节点就可以用2×1+1=3次多项式作为插值函数 (2)同样若要求P(x)在[a,b]上具有m阶导数(m阶光滑度) 即P(x)在节点x2x1…,x处必须满足 P(x=f()=y P(x )=f(x)=y =0,1 P(x)=f"(x1)=y P (m)
即P(x)在节点 x0 , x1 ,L, xn处必须满足 i i i P(x ) = f (x ) = y i i i P¢(x ) = f ¢(x ) = y ¢ (2)同样,若要求P(x)在[a,b]上具有m阶导数(m阶光滑度) 可以解出2n + 2个待定的系数 因此P(x)可以是最高次数为2n + 1次的多项式 两个节点就可以用2 ´ 1 + 1 = 3次多项式作为插值函数 i i i P¢¢(x ) = f ¢¢(x ) = y ¢¢ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m i i m i m P x = f x = y L i = 0,1,L, n --------(2) 共2n + 2个方程
定义1.称满足()或(2)式的插值问题为 Hermite插值, 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x为Hemt!插值多项 式,记为H(x),k为多项式次数 般,次 Hermite插值多项式H(x)次数k如果太高会影响 收敛性和稳定性( Runge现象),因此k不宜太大,仍用分段插值 、两点三次 Hermite插值 先考虑只有两个节点的插值问题 设f(x)在节点xx1处的函数值为yy1 在节点x0,x1处的的一阶导数值为yy 两个节点最高可以用3次 Hermite多项式H2(x)作为插值函数
定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项 式，记为Hk(x) , k为多项式次数 收敛性和稳定性 现象 因此 不宜太大 仍用分段插值 一般 次 插值多项式 的次数 如果太高会影响 ( ), , , ( ) Runge k k Hermite H x k k 一、两点三次Hermite插值 先考虑只有两个节点的插值问题 0 1 0 1 设f (x)在节点 x , x 处的函数值为y , y 0 1 0 1 在节点 x , x 处的的一阶导数值为y ¢ , y ¢ 两个节点最高可以用3次Hermite多项式H3 (x)作为插值函数
H3(x)应满足插值条件 H3(x0)=yH3(x1)=y H3(x0)=yH3(x1) H3(x)应用四个插值基函数表示 设H3(x)的插值基函数为h(x)=0123 H3(x)=aoho(x)+a,h(x)+a2h,(x)+ash3() 希望插值系数与 Lagrange插值一样简单 重新假设 H3(x)=yoMo(x)+,a,(x)+yoBo(x)+yiB(x)
H3 (x)应满足插值条件 3 0 0 H (x ) = y 3 1 1 H (x ) = y 3 0 0 H¢(x ) = y ¢ 3 1 1 H¢(x ) = y ¢ H3 (x)应用四个插值基函数表示 ( ) ( ), 0,1,2,3 设H3 x 的插值基函数为hi x i = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 1 2 2 3 3 H x = a h x + a h x + a h x + a h x 希望插值系数与Lagrange插值一样简单 重新假设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1 H x = y a x + y a x + y ¢b x + y ¢b x