数盘算 第六章逐次逼近法 §62线性方程组的迭代法
第六章 逐次逼近法 §6.2 线性方程组的迭代法
§62线性方程组的迭代法 在用直接法解线性方程组时要对系数矩阵不断变换 如果方程组的阶数很高,则运算量将会很大 并且大量占用计算机资源 因此对线性方程组 Ax= 6 要求找寻更经济、适用的数值解法 设A∈Rn,b∈R",x∈Rn
§6.2 线性方程组的迭代法 在用直接法解线性方程组时要对系数矩阵不断变换 如果方程组的阶数很高,则运算量将会很大 并且大量占用计算机资源 因此对线性方程组 Ax = b 要求找寻更经济、适用的数值解法 n n n n A Î R b Î R x Î R ´ 设 , , --------(1)
如果能将线性方程组(1)变换为 x= Bx+ -(2) 其中B∈R"x,f∈R",x∈R 显然(1)式和(2)式同解,我们称(1)(2)等价 对线性方程组(2),采用以下步骤: 取初始向量x0,代入(2),可得 x(1)=Bx)+f 依此类推
如果能将线性方程组(1)变换为 x = Bx + f --------(2) n n n n B Î R f Î R x Î R ´ 其中 , , 显然,(1)式和(2)式同解, 我们称(1)(2)等价 对线性方程组(2),采用以下步骤: 取初始向量 x (0 ) ,代入(2),可得 x = Bx + f (1) (0 ) 依此类推
(2)=Bx X f d+1 k Bx)+ f -(3) (k=01,2, 这种方式就称为迭代法,以上过程称为迭代过程 迭代法产生一个序列{x 如果其极限存在,即limx()=x k→ 则称迭代法收敛,否则称为发散
x = Bx + f (2 ) (1) x Bx f k k = + ( +1) ( ) M (k = 0,1,2,L) --------(3) 这种方式就称为迭代法 ,以上过程称为迭代过程 迭代法产生一个序列 ¥ 0 ( ) { } k x 如果其极限存在,即 ( ) * lim x x k k = ®¥ 则称迭代法收敛, 否则称为发散
、简单迭代法(基本迭代法) 设线性方程组(1)的一般形式为 C1X14122+a1nxn,= a2x+q2x2+…+a2nxn=b2 ax tax t b nn n 设an≠0(=1,2…,n),则可从上式解出x 1 x+……+a1nx
一、简单迭代法(基本迭代法) 设线性方程组(1)的一般形式为 11 1 12 2 1 1 a x a x a x b + +L + n n = 21 1 22 2 2 2 a x a x a x b + +L + n n = n n nn n n a x + a x +L + a x = b 1 1 2 2 KKKK ï ï î ï ï í ì a 0 (i 1,2, , n) 设 ii ¹ = L i ,则可从上式解出 x [ ( )] 1 1 12 2 1 11 1 n n b a x a x a x = - +L +