计算方法 第二章解线性方程组的直接法 §24直接三角分解法
第二章 解线性方程组的直接法 §2.4 直接三角分解法
§24直接三角分解法 、基本的三角分解法( Doolittle法) 若m阶方阵A=(an)的顺序主子式D≠0,k=1,2,…,n 则由上节可知,A的LU分解A=LU存在且唯 k A kk =LU
§2.4 直接三角分解法 一、基本的三角分解法(Doolittle法) = ( ) ¹ 0, ij n´n Dk 若n阶方阵A a 的顺序主子式 k = 1,2,L, n 则由上节可知 , A的LU分解A = LU存在且唯一 ,即 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = n nk nn k kk kn k n a a a a a a a a a A L L M M O M L L M O M M L L 1 1 11 1 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = 1 1 1 1 1 L L M M O L M O n nk k m m m ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ × ( ) ( ) ( ) (1) 1 (1) 1 (1) 11 n nn k kn k kk k n a a a a a a O M L O M M L L = LU
上式可记为 11 1 A 1 根据矩阵的乘法原理,A的第一行元素a1为 =1,2,…,n A的第r行元素主对角线以右元素an(j=r…,n)为 ∑1v k=1 r=1,2
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = 1 1 1 1 1 L L M M O L M O n nr r l l l ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ × nn rr rn r n u u u u u u O M L O M M 11 L 1 L 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = n nr nn r rr rn r n a a a a a a a a a A L L M M O M L L M O M M L L 1 1 11 1 1 上式可记为 根据矩阵的乘法原理 , A的第一行元素 a1 j为 a1 j = u1 j j = 1,2,L, n A的第r行元素主对角线以右元 素arj ( j = r,L,n)为 å= = r k rj rk kj a l u 1 r = 1,2,L,n j = r,L,n
同样,由 11 Ir A=ar1 r+1,1 可知A的第r列元素主对角线以下元素an(=r+1…,m)为 ∑ i=r+1, k=1 =12,…,n-1 显然,厂=1时,an=lnln1i=2,3,…,n
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = + 1 1 1 1 1,1 L L M M O L M O n nr r l l l ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ × nn rr rn r n u u u u u u O M L O M M 11 L 1 L 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ = n nr nn r rr rn r n a a a a a a a a a A L L M M O M L L M O M M L L 1 1 11 1 1 同样,由 可知A的第r列元素主对角线以下元素 air (i = r + 1,L,n)为 å= = r k ir ik kr a l u 1 r = 1,2,L, n - 1 i = r + 1,L, n 1 1 11 显然, r = 1时 , ai = l i u i = 2,3,L,n
综合以上分析,有 1,2 1 111 r+1, r=1,2…,n 1,2 H-1 an=21b+1 L4.+l.4 k=1 因此可以推导出 j=1,2,…,n U的第一行 il 2,3,…,n L的第一列--(2
综合以上分析,有 a1 j = u1 j j = 1,2,L, n å= = r k rj rk kj a l u 1 r = 1,2,L, n j = r,L,n å= = r k ir ik kr a l u 1 r = 1,2,L,n - 1 i = r + 1,L, n 1 1u11 a l i = i i = 2,3,L,n 因此可以推导出 u1 j = a1 j j = 1,2,L, n U的第一行 11 1 1 u a l i i = i = 2,3,L,n L的第一列 rj r k rj rk kj a = ål u + ×u - = 1 1 1 ir rr r k ir ik kr a = ål u + l u - = 1 1 ------(1) ------(2)