计算方法 第四章数值积分与数值微分 §42复合求积法
第四章 数值积分与数值微分 §4.2 复合求积法
§42复合求积法 当积分区间a,b的长度较大,而节点个数n+定时 直接使用 Newton- Cotes公式的余项将会较大 而如果增加节点个数,即n+1增加时 公式的舍入误差又很难得到控制 为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法 即将积分区间a,6分成若干个子区间 然后在每个小区间上使用低阶 Newton- Cotes公式 最后将每个小区间上的积分的近似值相加
§4.2 复合求积法 当积分区间[a,b]的长度较大,而节点个数n + 1固定时 直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大 而如果增加节点个数,即n + 1增加时 公式的舍入误差又很难得到控制 为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法 即将积分区间[a,b]分成若干个子区间 然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式 最后将每个小区间上的积分的近似值相加
复合求积公式 b 将定积分f(x)d的积分区间a,b分割为m等份 各节点为xk=a+kh,k=0,1…,nh=b=a 在子区间[x,x1(=0,1…,m-1)上使用Neon-Cots公式 将[xkx*1分割为等份步长为,节点为 h 2h +,Xk+ 记为xk h′x x k k+ 丿巩1-k+1 k+
一、复合求积公式 将定积分 f x dx的积分区间 a b 分割为n等份 b a ( ) [ , ] ò xk = a + kh , k = 0,1,L, n n b a h - 各节点为 = 在子区间[xk , xk +1 ](k = 0,1,L,n - 1)上使用Newton -Cotes公式 将[ , 1 ]分割为 等份,步长为 ,节点为 l h x x l k k + 1 , , 2 , , k k + k + k + = k + x l lh x l h x l h x x L 记为 1 2 1 , , , , + + + + = k l l k l k l k k x x x L x x
在xkx#1l上作f(x)的阶Neon-Coes求积公式 f(x)dx≈/)=( k+1 (D)flx.i i=0 h∑C0f(x) k 由积分的区间可加性可得 ()k=∑ f(x)d3 x 复合求积公式21=b2∑C0fx)=1 k=0 k=0i=0
( ) 1 ( ) k l x x f x dx I k k ò + » å= + = + - l i l i k l k k i x x C f x 0 ( ) 1 ( ) ( ) 在[xk , xk +1 ]上作f (x)的l阶Newton -Cotes求积公式 å= + = l i l i k l i h C f x 0 ( ) ( ) ò b a f (x)dx åò - = + = 1 0 1 ( ) n k x x k k f x dx å - = » 1 0 ( ) n k k l I 由积分的区间可加性,可得 åå - = = + = 1 0 0 ( ) ( ) n k l i l i k l i h C f x 复合求积公式 n = I
l=1时,可得复合梯形求积公式 f(x)xh=b∑∑Cf(x) k=0i=0 ∑f(x)+f(xk+1 k=0 复合梯形公式T b f(a)+2∑f(xk)+f(b 2n k=1 1=2时,可得复合 Simpson求积公式 f(x)xsS=b∑∑c}2(x,) k=0i=0
l = 1时,可得复合梯形求积公式 n b a f x dx » T ò ( ) åå - = = = + 1 0 1 0 (1) ( ) n k i i k i h C f x å - = = + + 1 0 1 [ ( ) ( )] 2 1 n k k k h f x f x [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 1 1 å - = + + - = n k n k f a f x f b n b a 复合梯形公式 T l = 2时,可得复合Simpson求积公式 åå - = = + = 1 0 2 0 2 (2 ) ( ) n k i i k i n h C f x b a f x dx » S ò ( )