口在n阶行列式|A中,把元素an所在的行列划去 后,所得的n-1阶行列式(余子式),记作M,称 为元素a的代数余子式,记作A 11 例如:a23的余子式为 5;… 23 32 33 34a a 14 15 41 42 43a 44a C 42 44 524 5;4a5 a23的代数余子式为A23=(-1)2M23=-M23
51 52 53 54 55 41 42 43 44 45 31 32 33 34 35 21 22 23 24 25 11 12 13 14 15 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A = 为元素 aij 的代数余子式， 记作 Aij 在 n 阶行列式|A|中，把元素 aij 所在的行列划去 所在的行列划去 后，所得的 n-1 阶行列式(余子式)，记作 Mij ，称 例如: a23 的余子式为 i j i j M+ (−1) 51 52 54 55 41 42 44 45 31 32 34 35 11 12 14 15 23 a a a a a a a a a a a a a a a a M = a23 的代数余子式为 23 23 2 3 23 A = (−1) M = −M +
13 21 23 D 22 23E 31 349 32 34 41…(2…43…14 12 12 12 11 12 13 22 235 4=(-1)+M4=M4 31 32 行列式的每个元素分别对应着 一个余子式和一个代数余子
, 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 12 A 1 M+ = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( ) 1 . 44 44 4 4 A44 = − M = M + ¾ 行列式的每个元素分别对应着 行列式的每个元素分别对应着 一个余子式 和 一个代数余子。 一个代数余子
口一个n阶行列式|A|,如果其中第i行元素除 a外都为零,那末这行列式等于ag与它的代数 余子式的乘积,即 11 12 13 例如4 00 0 42a 43a4 (-)3a3a21a2a2
41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a A = ( ) 1 . 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 a a a a a a a a a a + = − 例如 一个 n 阶行列式|A|，如果其中第 i 行元素除 aij 外都为零，那末这行列式等于 外都为零，那末这行列式等于 aij 与它的代数 余子式的乘积，即 ij Aij A = a
证明:当a位于第一行第一列时 12 a 0 22 ∑(-1)k“”a 展开式每项都含有第一行的元素,第一行除 外均为零,故有 A=∑( ∑(-1) srLssuausBEsn 即有 a 又 11 ∑(-1) a, a 从而
n n nn n a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 . 11M11 A = a 又 ( ) 11 1 1 11 A 1 M+ = − , = M 11 从而 A = a11A11 证明：当 aij 位于第一行第一列时 位于第一行第一列时 = ∑ − = ∑ − n n n n n n j j j n j j j j j j n j j j A a a a a a a L L L L L L 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 11 1 11 2 (1 ) ( 1) ( 1) τ τ = ∑ − n n n j j j j j n j j j j n n nn n n a a a a a a a a a a a a L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1)τ ¾ 展开式每项都含有第一行的元素，第一行除 展开式每项都含有第一行的元素，第一行除 aij 外均为零，故有 外均为零，故有 = ∑ − = n n n j j j j j n j j j j n n nn n n a a a a a a a a a a a a M L L L L L L L L L L 2 3 2 3 2 3 2 3 ( ) 2 3 32 33 3 22 23 2 11 ( 1)τ
再证明an位于任意位置的情况,假设 把第i行依次与第il、第i2、….第行对换,得 0 0 LA=()-)a-1
把第 i 行依次与第 i-1 、第 i-2、… 第1 行对换，得 再证明 aij 位于任意位置的情况，假设 位于任意位置的情况，假设 n nj nn ij j n a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 11 1 1 = 0 0 ( ) n nj nn i i j i n ij i a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 − − − − = −