《线性代数》课程教学资源（教案讲义）第二章 矩阵及其运算

410 B=13 求AB 201 134 410 AB=g03-1-1i3 2102201 (134 -240w042112i9002g3120i0 .2×0+1×3+0×1+2×4 - 矩阵乘法满足下列运算律（假设运算都是可行的）： (1)(AB)C=A(BC): (2)(AB)=(A)B=A(1B): (3)A(B+C)=AB+AC:(B+C)A=BA+CA 例2设矩阵 5 A=(a,a,.a),B= 求AB和BA b. 解AB=(a,4,a, =(a,b1+ab2t.+anbn) aba.ban BA= baba.ban \be b,a b.a.ban 应该注意，若有矩阵Am,B,则AB是m阶方阵，而BA是n阶方阵

例 1 设 1 0 3 1 2 1 0 2   − =     A ， 4 1 0 1 1 3 2 0 1 1 3 4     −   =       B ，求 AB ． 解 4 1 0 1 0 3 1 1 1 3 2 1 0 2 2 0 1 1 3 4       − −  =         AB 1 4 0 ( 1) 3 2 ( 1) 1 1 1 0 1 3 0 ( 1) 3 1 0 0 3 3 1 ( 1) 4 2 4 1 ( 1) 0 2 2 1 2 1 1 1 0 0 2 3 2 0 1 3 0 1 2 4    +  − +  + −   +  +  + −   +  +  + −  =      +  − +  +   +  +  +   +  +  +  921 9 9 11   − − =     ． 矩阵乘法满足下列运算律（假设运算都是可行的）： （1） ( ) ( ) AB C A BC = ； （2）    ( ) ( ) ( ) AB A B A B = = ； （3） A B C AB AC ( ) + = + ； ( ) B C A BA CA + = + ． 例 2 设矩阵 1 2 ( , , , ) n A = a a a ， 1 2 B       =       n b b b ， 求 AB 和 BA． 解 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( ) n n n n b b a a a a b a b a b b       = = + + +       AB ， 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n n n n b b a b a b a b b a b a b a a a a b b a b a b a             = =             BA ． 应该注意，若有矩阵 A m n ， B n m ，则 AB 是 m 阶方阵，而 BA 是 n 阶方阵．

例3设矩阵 4日9c- 求AB和AC 8-3-Θ4c-32-0 4-(日2-88 a4-(02g2-0 由例3看出矩阵乘法不适合消去律，由例4看出矩阵乘法不适合交换律，两个非零矩阵 的乘积可以为零矩阵，如果A、B都是n阶方阵，则AB与BA都有意义且都是n阶方阵， 但不一定相等。 利用矩阵乘法，可以定义方阵的幂，设A是阶方阵，定义 A=E,A=A,A=AA,.,A=AA,其中k为正整数 利用矩阵乘法的结合律，易证方阵的幂满足： A=A,(AyA型，其中k、I为正整数 由于矩阵乘法不适合交换律，所以(AB)=AB不一定成立。一般来说 (A+B)=4+AB+BA+B, 只有当AB=BA时，才有(A+B)=A+2AB+B成立 例：设矩库40)求 第-00-0引-4-00-0》 a-00-0》

例 3 设矩阵 1 2 1 2 A   − =     − ， 4 2 B   =     ， 4 2 C   − =     − ， 求 AB 和 AC ． 解 1 2 4 0 1 2 2 0 AB      − = =           − ， 1 2 4 0 1 2 2 0 AC      − − = =           − − ． 例 4 设 2 1 4 2   =     − − A ， 3 1 6 2   − =     − B ，求 AB ， BA ． 解 2 1 3 1 0 0 4 2 6 2 0 0      − = =           − − − AB ， 3 1 2 1 10 5 6 2 4 2 20 10      − = =           − − − − − BA ． 由例 3 看出矩阵乘法不适合消去律，由例 4 看出矩阵乘法不适合交换律，两个非零矩阵 的乘积可以为零矩阵．如果 A 、B 都是 n 阶方阵，则 AB 与 BA 都有意义且都是 n 阶方阵， 但不一定相等． 利用矩阵乘法，可以定义方阵的幂．设 A 是 n 阶方阵，定义 0 A E= ， 1 A A= ， 2 1 1 A A A = ， ， 1 1 A A A + = k k ， 其中 k 为正整数． 利用矩阵乘法的结合律，易证方阵的幂满足： A A A + = k l k l ， ( ) A A k l kl ，其中 k 、l 为正整数． 由于矩阵乘法不适合交换律，所以 ( )k k k AB A B = 不一定成立．一般来说 2 2 2 ( ) A B A AB BA B + = + + + ， 只有当 AB BA = 时，才有 2 2 2 ( ) 2 A B A AB B + = + + 成立． 例 5 设矩阵 1 1 0 1 A   =     ，求 A n ． 解 2 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 A      = =           ， 3 2 1 2 1 1 1 3 0 1 0 1 0 1 A A A      = = =           ， 4 3 1 3 1 1 1 4 0 1 0 1 0 1 A A A      = = =          