全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1995数学一

1995年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析填空题(1)lim(1+ 3xe6【答】【详解1】用第二类重要极限：lim(1+3x)sinx(1+3x)3【详解2】化为指数函数求极限：6In(1+3x)2In(1+3x)lim(1+3x)=e6s3.xost?dt=cost'dt- 2x? cos x4【答】【详解】occos)=Jcostdt-2x?cosx.(3)设(axb)·c= 2,则[(a+b)x(b+c)7-(c+a)=【答】4.【详解】[(a+b)x(b+c)]-(c+a)=[(a+b)xb]-(c+a)+[(a+b)×c/ (c+a)=(a+b)xc+(bxc)-a=(axb)-c+(axb).c=4n(4)幂级数文n-1 的收敛半径R== 2" +(-3)【答】V3.an+1n则当lim<1时，【详解】令anJa2" +(-3)"n→o3

1995 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、 填空题 (1) ( ) 2 sin 0 lim 1 3 x x x → + = . 【答】 6 e . 【详解 1】 用第二类重要极限: ( ) ( ) 6 2 1 sin 6 sin 3 0 0 lim 1 3 lim 1 3 . x x x x x x x x e → → ⎧ ⎫ +=+ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 【详解 2】 化为指数函数求极限: ( ) ( ) ( ) 0 0 2 6ln 1 3 2 lim ln 1 3 lim sin 3 6 sin 0 lim 1 3 . x x x x x x x x x e ee → → + + → += = = (2) 2 0 2 cos x d x t dt dx = ∫ . 【答】 2 0 2 24 cos 2 cos x t dt x x − ∫ . 【详解】 ( ) ( ) ( ) 2 22 2 0 00 2 2 2 22 0 2 24 cos cos cos cos 2 cos 2 cos . x xx x d d x t dt x t dt t dt x x x dx dx t dt x x = =+ − = − ∫ ∫∫ ∫ (3)设( ) abc × ⋅= 2, 则 ⎡ ⎤ ( )( ) ab bc ca +×+ ⋅+ = ( ) ⎣ ⎦ . 【答】 4. 【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) () ( )( ) 4. ab bc ca ab b ca ab c ca a b c bc a abc abc ⎡ ⎤ +×+ ⋅+ ⎣ ⎦ = +×⋅+ + +×⋅+ ⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ = + ×+ × ⋅ = × ⋅+ × ⋅= (4)幂级数 ( ) 2 1 1 2 3 n n n n n x ∞ − = + − ∑ 的收敛半径 R＝ . 【答】 3. 【详解】 令 ( ) 2 1, 2 3 n n n n n a x − = + − 则当 1 1 2 lim 1 3 n n n a x a + →∞ = < 时

即x2<3，也即x</3时，此幂级数收敛，因此收敛半径为√3100131(5)设三阶方阵A、B满足关系式：A'BA=6A+BA,且A=00,则B=4100>[300]【答】020[0 0 1]【详解】在已知等式ABA=6A+BA两边右乘以A，得AB= 6E +B,[200300于是B=6(A-l-E)03026/[006]00二、选择题x+3y+2z+1=0(1)设有直线L及平面元：4x-2y+z-2=0,则直线L[2x-y-10z+3=0（A）平行于元（B）在元上（C）垂直于元.（D）与元斜交[】【答】应选(C)【详解】直线L的方向向量s为ikjs=(1,3,2)×(2,-1,-10) =13 2= -7(4, -2,1)2 -1 -10与平面元的法向量n={4,-2,1]平行，应此直线L垂直于元(2)设在[0,1]上了(x)>0,则(0)、(1)、()-f(0)或(0)-f(1)的大小顺序是(A)f (1)>f (0)>f(1)-f(0)(B) ()>f()-f(0)> f (0)

即 2 x < 3, 也即 x < 3 时，此幂级数收敛， 因此 收敛半径为 3. (5)设三阶方阵 A、B 满足关系式： -1 A BA = 6A + BA,且 1 0 0 3 1 0 0, 4 1 0 0 7 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ A = 则 B = . 【答】 300 020 001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 【详解】 在已知等式 -1 A BA = 6A+ BA 两边右乘以 -1 A ，得 A-1 B = 6E + B, 于是 ( ) 1 1 1 200 300 6 60 3 0 0 2 0. 006 001 − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −= = ⎣ ⎦⎣ ⎦ B AE 二、选择题 （1） 设有直线 3 2 10 : 2 10 3 0 xyz L xy z ⎧ + + += ⎨ ⎩ −− += 及平面π : 4 2 2 0, x yz − +−= 则直线 L （A）平行于π. （B）在π 上. （C）垂直于π. （D）与π 斜交. 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 直线 L 的方向向量 s 为 { }{ } 1,3, 2 2, 1, 10 1 3 2 7 4, 2,1 { } 2 1 10 ij k s = × − − = =− − − − 与平面π 的法向量 n = − {4, 2,1}平行，应此直线 L 垂直于π. （2） 设在 [0,1] 上 ( ) '' f x > 0, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f f ff 0 11 0 、 、 − 或 f ( ) () 0 1 − f 的大小 顺序是 (A) ( ) ( ) () ( ) ' ' f f ff 1 0 1 0. > >− (B) ( ) ( ) () () ' ' f ff f 1 1 0 0. >− >

(C) f(1)- f(0)> f ()> f' (0)(D) f' (1)> f(0)- f(1)> f (0)【答】应选（B）【详解】由(x)>0,知(x)单调增加，又f(1)-f(0)=f()(1-0) (0<<1)根据(0)<f()<(1)知,f (0)<f()-f(0)<f'()可见正确选项为(B).(3）设(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件【答】应选（A【详解】因为F(x)-F(0)f(x)(1-sinx)-f (0)F. (0)= limx-0xf(x)-f(0)f(a)sinx= limx= f' (0)- f(0),f(x)(1+ sin x)- f(0)F(x)-F(0)F* (0)= limlimx-0-00x[(x)-f(0) sir+f(x= limX-0x=f (0)+f (0),可见， F (0)存在 F. (0)=F(0)F (0)-f(0)=(0)+f(0)(0)=0因此正确选项为（A），则级数(4)设u,=(-1)"In1+Nn(A)2都收敛(B)都发散17=l=n=1u,收敛而u”发散Zu,发散而u?收敛(C)(D)E二n=l

(C) () ( ) () ( ) ' ' ff f f 1 0 1 0. −> > (D) ( ) ( ) ( ) () ' ' f fff 1 0 1 0. > −> 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 由 ( ) '' f x > 0,知 ( ) ' f x 单调增加，又 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ' ff f 1 0 1 0 0 1, − = − << ξ ξ 根据 ( ) ( ) () '' ' fff 0 1 < < ξ 知， ( ) () ( ) ( ) ' ' f ff f 0 1 0 1. <− < 可见正确选项为(B). （3）设 f ( ) x 可导， Fx f x x () () = + (1 sin ,) 则 f (0 0 ) = 是 F x( ) 在 x = 0 处可导的 （A）充分必要条件. （B）充分条件但非必要条件. （C）必要条件但非充分条件. （D）既非充分条件又非必要条件. 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 因为 ( ) ( ) () ( )( ) ( ) () () ( ) () () ' 0 0 0 ' 0 1 sin 0 0 lim lim 0 0 sin lim 0 0 , x x x Fx F f x x f F x x fx f x f x x x f f − − − − → → → − −− = = − ⎡ ⎤ − = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − ( ) ( ) () ( )( ) ( ) () () ( ) () () ' 0 0 0 ' 0 1 sin 0 0 lim lim 0 0 sin lim 0 0 , x x x Fx F f x x f F x x fx f x f x x x f f + + + + → → → − +− = = − ⎡ ⎤ − = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = + 可见， ( ) ' F 0 存在⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () '' ' ' F F ffff f 0 0 0 0 0 0 0 0. − + = ⇔ −= +⇔= 因此正确选项为（A）. (4)设 ( ) 1 1 ln 1 , n n u n ⎛ ⎞ =− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 则级数 （A） 1 n n u ∞ = ∑ 与 2 1 n n u ∞ = ∑ 都收敛. （B） 1 n n u ∞ = ∑ 与 2 1 n n u ∞ = ∑ 都发散. （C） 1 n n u ∞ = ∑ 收敛而 2 1 n n u ∞ = ∑ 发散. (D) 1 n n u ∞ = ∑ 发散而 2 1 n n u ∞ = ∑ 收敛

【答】应选(C)【详解】因为v,= In单调递减且limy,=0Vn由莱布尼茨判别法知级数≥u,=Z(-1)"v，收敛，二n=l而u =n (1+→)1，月2！一发散台nVnn因此u也发散.=故正确选项为（C)[ai[0 1 0ai2ai3a21a2a2300(5)设A=1a21a22a23Baai2ar3P0/0[a311a33a32[ag +aa +a13]a32+a12[1 000P,=0 1则必有[101](A) APP,=B(B) AP,P, = B(C) PP,A= B.(D) P,P,A= B.[】【答】应选（(C)【详解】P,是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，P,是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵，而B是由A先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得到的，因此P,P,A=B.故正确选项为（C）三、(1)设u=f(x,y,=),p(x2,e',=)=0,y=sinx,其中f、β都具有一阶连续偏导数，且0求兴Oz4【详解】等式u=(x,y,=)两边同时对x求导，得du of+of dy+of dzdx"axay dxaz dx

【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 因为 1 ln 1 n v n ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 单调递减 且lim 0, n n v →∞ = 由莱布尼茨判别法知级数 ( ) 1 1 1 n n n n n u v ∞ ∞ = = ∑ ∑= − 收敛， 而 2 2 1 1 ln 1 ~ , n u n n ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 且 1 1 n n ∞ = ∑ 发散， 因此 2 1 n n u ∞ = ∑ 也发散. 故正确选项为（C）. (5)设 11 12 13 21 22 23 21 22 23 11 12 13 1 31 32 33 31 11 32 12 33 13 010 , , 1 0 0, 001 aaa a a a aaa a a a aa a aaaaaa ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ +++ A= B P 2 100 010 101 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P ，则必有 （A） 2 = . APP B 1 (B) A = B. P P2 1 (C) = . P1 2 PA B (D) = . P2 1 PA B 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 P1 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，P2 是将单位矩阵的第一行加到第 三行所得初等矩阵，而 B 是由 A 先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交 换得到的，因此 = . P1 2 PA B 故正确选项为（C）. 三、(1)设 ( ) ( ) 2 , , , , , 0, sin , y u f xyz x e z y x = == ϕ 其中 f、ϕ 都具有一阶连续偏导数，且 0, z ∂ϕ ≠ ∂ 求 . du dx 【详解】 等式u f xyz = ( ) , , 两边同时对 x 求导，得 , du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ = +⋅+⋅ ∂∂ ∂

而d=cosx.又等式p(x2,e",=)=0两边同时对x求导，得dx2++0dxdx解得史(2xp, +e"cosxp2)dxP3du ofof.x-% -(2xp, +ecos xp2)故Odx-axayOzp(2)设函数(x)在区间[0,1]上连续，并设[,(x)dx=A,求Jdx"(x)(n)d)【详解1】交换积分次序，得T'dxf"f(x)r(v)dy=J'dyf(x)r(0)dx=f'dxf,(o)f(x)dy于是'dax"(x)()dy=[da" ()()ay+J'a (x)()dy-a ()(0)d-() x T' (0)y1A【详解2】分部积分，得'daxf" (x)r(v)dy= J(" (v)dy) (x)dx-((0)( s(0)da)=A-I('T()('())-+[(l-4-4-4四、（1）计算曲面积分』=ds,其中为锥面=+在柱体+≤2x内的部分.A--()() a=-/2do.因为dS=1【详解】于是

而 cos . dy x dx = 又等式 ( ) 2 , 0 y ϕ xez = 两边同时对 x 求导，得 '' ' 12 3 2 0, y y dy dz xe e dx dx ϕϕ ϕ ⋅+ ⋅ +⋅ = 解得 ( ) ' ' ' 1 2 3 1 2 cos , dz y xe x dx ϕ ϕ ϕ =− + 故 ( ) ' sin ' ' 1 2 3 1 cos 2 cos . du f f f x x xe x dx x y z ϕ ϕ ϕ ∂∂ ∂ =+ − + ∂∂ ∂ （2）设函数 f ( ) x 在区间[0,1]上连续，并设 ( ) 1 0 f x dx A = , ∫ 求 ()() 1 1 0 . x dx f x f y dy ∫ ∫ 【详解 1】 交换积分次序，得 () () () () () () 11 1 1 0 00 00 , y x x dx f x f y dy dy f x f y dx dx f y f x dy = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ 于是 ()() ()() ()() () () () () 11 11 1 0 0 00 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 2 1 2 x x x dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy f x dx f y dy ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = = ⋅ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 . 2 = A 【详解 2】 分部积分，得 ()() () ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) 1 1 11 0 0 1 1 0 1 11 1 2 0 2 1 2 22 1 0 1 11 2 2 | x x x x x x x dx f x f y dy f y dy f x dx f y dy d f t dt A f t dt d f y dy A f t dt A A = ⋅ = = − ⎡ ⎤ =+ =− = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 2 . 2 A 四、（1）计算曲面积分 zdS, ∑ ∫∫ 其中∑ 为锥面 2 2 z xy = + 在柱体 2 2 x + y x ≤ 2 内的部分. 【详解】 因为 2 2 1 2, z z dS d d x y σ σ ⎛ ⎞ ∂ ∂⎛ ⎞ =+ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂⎝ ⎠ 于是