1995年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题1-x,则 f(m)(x)=(1)设f(x):1+x(-1)"2·n!【答】(1+ x)*+(0)=--1,于是【详解】1+x 1+xf'(x)= 2 (-1)(1+x)-2,f"(x) = 2(-1)(-2)(1+ x)-3,() =2(-1)"n(1+ x)() = (-1)-n!(1 + x)(n+),f(u)可导，则xz,+yz,=(2）设z=xyf【答】22【详解】因为2=()+· ()(-)=()-兰()=()+()=()+()于是(-（+()+xz, + yz, = xyf 2x)(3) 设f'(lnx)=1+x,则f(x)=【答】x+e'+C【详解】令Inx=t,则x=e
1995 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 1 () , 1 x f x x − = + 则 ( ) ( ) n f x = _. 【答】 ( ) ( ) 1 12 ! 1 n n n x + − ⋅ + 【详解】 1 2 ( ) 1, 1 1 x f x x x − ==− + + 于是 2 3 ( ) ( 1) ( 1) ( ) 2 ( 1)(1 ) , ( ) 2( 1)( 2)(1 ) , ( 1) ! 2( 1) !(1 ) . (1 ) n nn n n fx x fx x n f nx x − − − + + ′ = ⋅− + ′′ =−− + − ⋅ =− + = + " （2）设 , () y z xyf f u x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 可导，则 x y xz yz ′ + ′ = _. 【答】 2z 【详解】 因为 2 2 , x y y y yy y z yf xy f yf f x x x xx x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ′ = + ⋅ ⋅− = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 , y y y yy z xf xy f xf yf x xx x x ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ′′ ′ = + ⋅ ⋅= + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 于是 2 2 x y y yy y xz yz xyf y f xyf y f x xx x ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ′′ ′ ′ += − + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 2 y xyf z x ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （3）设 f ′( ) ln 1 , x x = + 则 f ( ) x = _. 【答】 x x + + e C 【详解】 令 ln , x = t 则 , t x = e
于是由题设有f(t)=1+e',即f'(x)=1+e*,故f(x)=J(1+e*)dx = x+e' +C.[100220,A"是A的伴随矩阵，则（A）(4) 设A=[34S[00101-510【答】1532-512][10【详解】因为AA"=AE,从而L0010110151510A3211125L10(5）设X,X2.X,是来自正态总体N(u,α)的简单随机样本，其中参数μ和未知，记X-I之x,O"=-之(x,-X)，则假设H:μ=0的T检验使用统计量ni=li=lT :+【答】n(n-1)ovX-μ【详解】T统计量定义为T：SJn这里μ=0,2=1XQ?,代入T统计量得7An-T =Vn(n-1)0S
于是由题设有 () 1 ,t f ′ t e = + 即 ( ) 1 , x f ′ x e = + 故 () 1 . ( ) x x f x e dx x e C = + =+ + ∫ （4）设 100 2 2 0, 345 ∗ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A 是 A 的伴随矩阵，则( ) −1 ∗ A = _. 【答】 1 0 0 10 1 1 0 . 5 5 3 21 10 5 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】因为 , ∗ AA AE = 从而 ( ) ( ) 1 1 1 0 0 10 1 1 1 11 0 . 10 5 5 3 21 10 5 2 ∗ − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ A A A= A= A A （5）设 1 2 , , X X X " n 是来自正态总体 ( ) 2 N µ,σ 的简单随机样本，其中参数 µ 和 2 σ 未知， 记 ( )2 2 1 1 1 , , n n i i i i X XQ X X n = = = =− ∑ ∑ 则假设 0 H : 0 µ = 的 T 检验使用统计量 T = _. 【答】 ( ) 1 X n n Q − 【详解】T 统计量定义为 , X S n − µ T = 这里 ( )2 2 2 1 1 1 0, , 1 1 n i i S XX Q n n µ = = = −= − − ∑ 代入T 统计量得 ( ) 1 . X X n nn S Q T= = −
二、选择题f()-f(1-x)=-1,则曲线y=f(x)在点（1）设f(x）为可导函数，且满足条件lim2xr-→0(1,f(1))处的切线斜率为S(A)2.(C) (B)-1.(D)-2.1应选(D).【答】【详解】本题实际上是要求f(1)，由题设10)-f(-)-1limf(1-x)-f(I) _ 1limf'(1)=-1-02x20-x2得f'(1) = -2.（2）下列广义积分发散的是dxA)sinxe-rdx(C) I(D)xln?x[【答】应选(A)1的间断点，且limsinx=1,根据极限判敛法便知【详解】由于x=0是dx发散1sinxsinxx（3）设矩阵Am的秩为r(A)=m<n,E为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是(A)A的任意m个列向量必线性无关.(B)A的任意m阶子式不等于零(C)若矩阵B满足BA=O,则矩阵B=O.(D)A通过初等行变换，必可以化为(Em,O)的形式【答】应选(C)【详解】（A)(B)中“任意”应改为“存在”；（D)中若改为通过初等变换（包括行
二、选择题 （1）设 f ( ) x 为可导函数，且满足条件 0 (1) (1 ) lim 1, x 2 f fx → x − − = − 则曲线 y fx = ( ) 在点 ( ) 1, (1) f 处的切线斜率为 () () () ( ) 1 2. 1. . 2. 2 AB C D − − 【 】 【答】 应选( ) D . 【详解】 本题实际上是要求 f ′( ) 1 ,由题设 ( ) 0 0 (1) (1 ) 1 (1 ) (1) 1 lim lim 1 1, x x 22 2 f f x f xf f → → x x − − −− = = =− ′ − 得 f ′( ) 1 2. = − （2）下列广义积分发散的是 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 . . sin 1 A dx B dx x x − − − ∫ ∫ () () 2 2 0 2 1 . . ln x C e dx D dx x x +∞ ∞ − ∫ ∫ 【 】 【答】 应选( ) A . 【详解】 由于 x = 0 是 1 sin x 的间断点，且 0 1 sin lim 1, x 1 x x → = 根据极限判敛法便知 1 1 1 sin dx x ∫− 发散. （3）设矩阵 Am n× 的秩为 ( ) , m r mn A = < E 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 ( ) A A的任意 m 个列向量必线性无关. ( ) B A的任意 m 阶子式不等于零. ( ) C 若矩阵 B 满足 BA = O,则矩阵 B = O. ( ) D A 通过初等行变换，必可以化为(Em ,O)的形式. 【 】 【答】 应选(C). 【详解】( )( ) A B 、 中“任意”应改为“存在”； (D) 中若改为通过初等变换（包括行
列变换），则必可化为(Em,O)的形式.只有(C)为正确答案.事实上，由BA=O,有A'BT=O,即B的每列均为Ax=0的解，而A是列满秩的，所以A'x=O只有零解，从而BT的每列均为零，即B=0.（4）设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y,V=X-Y,则随机变量U与V必然(B)独立,(A)不独立.(C)相关系数不为零(D)相关系数为零【答】应选(D)【详解】因为cov(U,V)=E(U-u)E(v-v)=E(X-Y-X+y)(X+Y-X-))=E(X-Xx)"-E(Y-),由于X和Y同分布，故E(x-x) -E(y-)即 cov(U,V)=0,故(D)为正确答案（5）设随机变量X服从正态分布N(u,α2)，则随α的增大，概率P(X-μ<α)(A)单调增大,(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定[【答】应选(C)【详解】Y由于X~N(u,o)，则Y=X-"~ N(0.1),P(X-μ<o)= P(|<1)可知此概率不随和u的变化而改变三、设
列变换），则必可化为 ( ) , Em O 的形式.只有 (C) 为正确答案.事实上，由 BA = O, 有 T T A B = O, 即 T B 的每列均为 0 T A x = 的解，而 T A 是列满秩的，所以 0 T A x = 只有零解， 从而 T B 的每列均为零，即 B = O. （4）设随机变量 X 和Y 独立同分布，记U=X YV=X Y − , , − 则随机变量U 与V 必 然 ( ) A 不独立. (B) 独立. ( ) C 相关系数不为零. (D) 相关系数为零. 【 】 【答】 应选(D). 【详解】 因为 cov , ( ) UV E U U EV V E X Y X Y X Y X Y = − − = −− + +− − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 = −− − E X X EY Y , 由于 X 和Y 同分布，故 ( ) ( ) 2 2 E X X EY Y −= − 即cov , 0, ( ) U V = 故( ) D 为正确答案. （5）设随机变量 X 服从正态分布 ( ) 2 N µ,σ ，则随σ 的增大，概率 P X{ − < µ σ } ( ) A 单调增大. ( ) B 单调减小. (C) 保持不变 (D) 增减不定 【 】 【答】 应选(C). 【详解】 Y 由于 ( ) 2 X N~ , µ σ ，则 ( ) { } { } ~ 0,1 , 1 . µ σ µ σ − = −< = < X Y N P X PY 可知此概率不随σ 和 µ 的变化而改变. 三、设
x<0cos.x)f(x)=x=0.试讨论f(x)在x=0处的连续性和可导性cost'dtx>0.【详解】(1)由2cos.xsinxlim -costdt=lim1cos x)= lim=1.limx可知limf(x)=1=f(0)于是，函数f(x)在x=0处连续，（2）分别求f(x)在x=0处的左、右导数2(1-cosx)-x1[2(1-cosx)f'(0) = lim -=lim+3x2x→0 xx→0~2sinx-2x2cosx-2-sinx= lim-lim lim=03x26x3x→0x→0X→0cost'dt-xrJOf'(0)= lim -limCosoxx-→0rX-2xsinx?cosx?-1= lim=lim022x1→0*X→0*由于左、右导数都等于0，可见f(x)在x=0处可导，且f"(O)=0四、已知连续函数f(x)满足条件f(x)=dt+e"，求f(x)【详解】两端同时对x求导，得一阶线性微分方程F'(x)=3f(x)+2e2*,即 f'(x)-2f(x)=2e2x解此方程，有()-(Jo() / )d+)e/)=([2e.dx+C)e-(2-Je*dx+C)e =(-2e-*+C)e** =Ce3 -2e,由于 f(0)=1,可得C=3
( ) 2 2 0 2 1 cos , 0, ( ) 1, 0, 1 cos , 0. x x x x fx x t dt x x ⎧ − < ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎪ ⎪ > ⎩ ∫ 试讨论 f ( ) x 在 x = 0 处的连续性和可导性. 【详解】 （1）由 ( ) 2 2 2 0 00 0 0 2 sin 1 cos lim 1 cos lim 1, lim cos lim 1, 1 x x xx x x x x t dt x xx → →→ → − −+ + −= = = = ∫ 可知 0 lim ( ) 1 (0). x fx f → = = 于是，函数 f ( ) x 在 x = 0 处连续, （2）分别求 f ( ) x 在 x = 0 处的左、右导数. ( ) ( ) 2 2 3 0 0 1 2 1 cos 2 1 cos (0) lim 1 lim x x x x x f xx x − → → − − ⎡ ⎤ − −− ′ = −= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 0 00 2sin 2 2cos 2 sin lim lim lim 0, x xx 3 63 xx x x x x → →→ − −− − −− = = == 2 0 2 2 0 0 0 1 cos 1 1 (0) lim cos 1 lim x x x x t dt x x f t dt xx x + → → + + − ⎛ ⎞ ′ = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 2 2 0 0 cos 1 2 sin lim lim 0. x x 2 2 x xx x → → + + − − == = 由于左、右导数都等于 0，可见 f ( ) x 在 x = 0 处可导，且 f ′(0 0. ) = 四、已知连续函数 f ( ) x 满足条件 3 2 0 ( ) 3 x t x f x f dt e ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∫ ，求 f ( ) x . 【详解】 两端同时对 x 求导，得一阶线性微分方程 ( ) ( ) 2 3 2, x f ′ x fx e = + 即 ( ) ( ) 2 2 2. x f ′ x fx e − = 解此方程，有 () () () () ( ) 23 3 2 p x dx p x dx xx x f x Q x e dx C e e e dx C e − ⎛ ⎞ ∫ ∫ − = + = ⋅+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 32 2 2 2, x x x x xx e dx C e e C e Ce e − − = − + =− + = − ∫ 由于 f ( ) 0 1, = 可得C = 3