例2证明数列x=V3+V3+√+ (n重根 式)的极限存在 证 显然x1>xn,{xn}是单调递增的 又x=5<3,假定x<3,x1=√3+x<3+3<3 {xn}是有界的；.1imx,存在 x=VB+X,x21=3+x, lim=lim(3+x). 1n→00 f=3+么解得4=中西AL- (舍去) 2 2 1+√13 .limx= -→00 2
例 2 3 3 3 ( ) . 证明数列 重 根 式 的 极 限 存 在 n x n 证 1 显 然 , n n x x 是 单 调 递 增 的 ; n x 1 又 x 3 3, 假 定 3, k x 1 3 k k x x 3 3 3, 是有界的 ; n x lim . n 存在 n x 1 3 , n n x x 2 1 3 , n n x x 2 1 lim lim(3 ), n n n n x x 2 A A 3 , 1 13 1 13 , 2 2 解 得 A A (舍去 ) 1 13 lim . 2 n n x
二、两个重要极限 1.lim sinx x→0 x 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 sinx<x<tan x 故有 1< x sinx (0<x<) coSx sinx 显然有 COS X< <1 (0<x<) X 下面再证明：limcosx=1.→ lim mx=1. x>0 x-→0
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 π x x x x ( 0 , ) 2 π x 时， (0 ) 2 π 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 O B A x 1 D C