这个乘积可以图示如下: bbbb 注意,两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数时才能相乘
◼ 这个乘积可以图示如下： ◼ 注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数时才能相乘。 i j j j j j i i i n c b b b b a a a = 4 3 2 1 （ 1 2 ）
我们看一个例子(可乘性) 例 2-10 50 2·1+(-1)●2+0(-5)2·(-3)+(-1·1+0·0 3·1+1●2+(-2)·(-5)3·(-3)+1●1+(-2)●0 0一7 15-8 对于数的乘法成立的运算规律,对于矩阵的乘 法来说并不都成立。值得提出的是以下两点
我们看一个例子（可乘性） 例1： − − − − 5 0 2 1 1 3 3 1 2 2 1 0 • + • + − • − • − + • + − • • + − • + • − • − + − • + • = 3 1 1 2 2 5 3 3 1 1 2 0 2 1 1 2 0 5 2 3 1 1 0 0 （ ）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） − − = 15 8 0 7 对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘 法来说并不都成立。值得提出的是以下两点
(1)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例如: 00|=0 00 (2)矩阵的乘法不满足交换律。首先,当m≠时, 有意以,B但没有义m其次 A B和Bmnn虽然都有意义,但是当m≠n 时,第一个乘积是m阶矩阵而第二个是n阶矩 阵,他们不相等。最后,AnBn和BA虽然都 是n阶矩阵,但它们也未必相等。例如
（1）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例如： （2）矩阵的乘法不满足交换律。首先，当 时， 有意义，但 没有意义。其次 和 虽然都有意义，但是当 时，第一个乘积是m阶矩阵而第二个是n阶矩 阵，他们不相等。最后， 和 虽然都 是n阶矩阵，但它们也未必相等。例如， 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 = = − − − m p AmnBnp BnpAmn AmnBnm Bnm Amn m n AnnBnn BnnAnn
例2: 2-3 4 312 57 但是矩阵乘法满足结合律: CAB)C=A(BC) 证明:可以假定 a=(a,,b=(b,m,C=(cu) 那么(AB)C和A(BC)都是m×q矩阵,我们 来证明它们的对应元素相等
◼ 例2： ◼ 但是矩阵乘法满足结合律： （AB）C=A（BC） 证明：可以假定 那么（AB）C和A（BC）都是 矩阵，我们 来证明它们的对应元素相等， − − = − 7 5 8 1 3 1 2 3 2 1 1 2 − = − 5 7 4 1 2 1 1 2 3 1 2 3 A a , B b ,C c pq, =（ i j）m n =（ i j）n p =（ i j） mq
AB=U=qu. BC=V=(v 又矩阵乘法知, ∑akb,v=∑ k=1 i=1 因此(AB)C=BC的第行和第j的元素是 (1)∑1C=∑(akb =∑∑ aik b, Cr 另一方面,(AB)C=A的第行第j列的元素是
令: 又矩阵乘法知， 因此（AB）C=BC的第i行和第j的元素是 （1） 另一方面，（AB）C=AV的第i行第j列的元素是 AB U u = =（ ij） BC = V =（vij） = = = = p i kj kl l j n k i l i k kl u a b v b c 1 1 , lj n k i k kl p l p l il lj u c （a b ）c = = = = 1 1 1 = = = n k ik kl lj p l a b c 1 1