在点(1,0)处，A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0.f(1,0)=-5为极小值； 在点(1,2)处，A=12,B=0,C=-6, AC-B2=12×(-6)<0,.f(1,2)不是极值； 在点(-3,0)处，A=-12,B=0,C=6, AC-B2=-12×6<0,.f(-3,0)不是极值. 在点(-3,2)处，A=-12,B=0,C=-6, AC-B2=(-12)×(-6)>0,A<0:f(-3,2)=31为极大值
2 (1, 0) 12 , 0 , 6 , 12 6 0 , 0 (1 , 0) 5 A B C AC B A f 在点 处， 为极小值； 2 (1, 2) 12 , 0 , 6 , 12 ( 6) 0 , (1 , 2) A B C AC B f 在点 处， 不是极值； 2 ( 3, 0) 12 , 0 , 6 , 12 6 0 , ( 3 , 0) A B C AC B f 在点 处， 不是极值. 2 ( 3, 2) 12 , 0 , 6 , ( 12) ( 6) 0 , 0 ( 3 , 2) 31 A B C AC B A f 在点 处， 为极大值
例5求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0 确定的函数z=f(K,y)的极值。 解将方程两边分别对x、y求偏导 2x+2z·7x-2-4z.=0 2y+2xz,+2-4z,=0 由函数取极值的必要条件知，驻点为P(1,-1), 将上方程组再分别对x、y求偏导数
2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 x x y y x z z z y z z z 解 2 2 2 5 2 2 4 10 0 ( , ) . x y z x y z z f x y 例 求由方程 确定的函数 的极值 将方程两边分别对x、y求偏导 由函数取极值的必要条件知,驻点为 P(1,-1), 将上方程组再分别对 x、y求偏导数
1 乙xlp= 2-z Ip=0, 2-21 故AC-B2= 2->0(*2函数在P点有极值， 1 将P(1,-1)代入原方程，得x1=-2,=6 当-，4心 所以z=f(1,-1)=-2为极小值； 当=6时，4=寸0 所以：=f(1,-1)=6为极大值
1 1 | , | 0, | , 2 2 xx P xy P yy P z z z z z 2 2 1 0 ( 2) . (2 ) AC B z P z 故 ，函 数在 点有 极值 1 2 将 P z z (1, 1 ) 2 , 6 代 入 原 方 程 ， 得 1 1 2 0, 4 当z A 时， 所 以 z f (1, 1 ) 2为 极 小 值 ； 1 1 6 0, 4 当z A 时， 所 以 z f (1, 1 ) 6为 极 大 值
选择题 己知函数f(化，y)在点(0,0)的某个邻域内连续， 且，im f(x,y)-xy (cx-0.0)(x2+y2)2 =1，则 A)点(0,0)不是f化，y)的极值点. (B)点(0,0)是f化，y)的极大值点. (C)点(0,0)是f化，y)的极小值点. (D)根据所给条件无法判断点(O,O)是否为f(c,y) 的极值点
选择题 已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续, 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) lim 1, ( ) x y f x y xy x y 且 则 (A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点. (B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点. (C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y) 的极值点