2、二元函数取得极值的条件 定理1（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(x,y) 具有偏导数，且在(x,y)处有极值，则有 f(x,)=0,f(xo,y)=0 证不妨设z=∫(x,y)在点(x,y)处有极大值， 则对于(x,y)的某邻域内的任一点(x,y)≠(x,y,) 都有f(x,y)<f(xo,y)
2、二元函数取得极值的条件 证 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 1( ) x y z f x y x y x y f x y f x y 设函数 在点 具有偏导数，且在 处有极值，则有 ， 定理 必要条件 0 0 不 妨 设 z f x y x y ( , ) ( , ) 在 点 处 有 极 大 值 ， 0 0 0 0 则 对 于 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y 的 某 邻 域 内 的 任 一 点 0 0 都 有 f x y f x y ( , ) ( , )
故当x≠xy=y,时，f(x,y)<f(x,y)》 说明一元函数z=f(x,y)在点x处有极大值， 必有∫(x,y)=0. 类似的f,(x)=0. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点。 注意：驻点极值点 例如：点(0,0)是函数z=xy的驻点，但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 0 0 0 0 0 故 当 x x y y f x y f x y 时 ， ( , ) ( , )， 0 0 说 明 一 元 函 数 z f x y x ( , )在 点 处 有 极 大 值 ， 0 0 ( , ) 0 . x 必 有 f x y 0 0 ( , ) 0 . y 类 似 的 fxy 例如：点(0,0)是函数z=xy的驻点，但不是极值点
定理2（充分条件）设函数z=f(x,y)在点(x,y) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 又f(x,y)=0,f,(x,)=0 fs(xo2 Vo)=A,fs(xo2 Fo)=B,fw(xo2 Yo)=C 则f(x,y)在点(x,y)处是否取得极值的条件如下： (1)AC-B2>0时具有极值，且 当A<0时有极大值，当A>0时有极小值； (2)AC-B2<0时没有极值； (3)AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值， 另作讨论
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) x y xx xy yy z f x y x y f x y f x y f x y A f x y B f x y C f x y x y 设函数 在点 的某邻域内连续，有一阶及二阶 定理 充分条 连续偏导数， 又 ， 令 ， ， 则 在点 处是否取得极值的条 件 件如下： 2 ( 2 ) 0 A C B 时 没 有 极 值 ； 2 (1) 0 0 0 AC B A A 时具有极值，且 当 时有极大值，当 时有极小值； 2 (3) 0 AC B 时可能有极值，也可能没有极值， 另作讨论
求函数z=f(x,y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f(x,y)=0 f(x,y)=0 求出实数解，得驻点。 第二步对于每一个驻点(x,), 求出二阶偏导数的值A、B、C. 第三步定出AC-B的符号， 再判定是否是极值. 注：偏导数不存在点也有可能是极值点.（例2）
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤: 第一步 解方程组 ( , ) 0 ( , ) 0 f x y f x y y x 求出实数解,得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( , ), 0 0 x y 求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第三步 定出 2 AC B 的符号, 再判定是否是极值. 注：偏导数不存在点也有可能是极值点.(例2)
例4求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值. 解：先解方程组 f(x,Jy)=3x2+6x-9=0, f(x,y)=-3y2+6y=0, 得驻点：(1,0)，(1,2)，（-3,0)，(-3,2) 求二阶偏导数 A=fx(x,y)=6x+6,B=f,(x,y)=0, C=fy(x,y)=-6y+6
2 2 ( , ) 3 6 9 0, ( , ) 3 6 0, x y f x y x x f x y y y 3 3 2 2 例 4 ( , ) 3 3 9 . 求 函 数 f x y x y x y x 的 极 值 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2). 解：先解方程组 ( , ) 6 6 , ( , ) 0 , ( , ) 6 6 x x x y y y A f x y x B f x y C f x y y 求二阶偏导数