假设对于k-1来说，结论成立．现设,，为α的互不相同的特征值，Si是属于2：的特征向量，即 Jo5, =,5, i=1,2,..,n.a,ep①设 a+a+...+as=0,以,乘①式的两端，得②a+a+.a=0.又对①式两端施行线性变换，得③a+a+.a=087.5对角矩阵区区
§7.5 对角矩阵 假设对于 k − 1 来说，结论成立. 现设 1 2 , , k 为 的互不相同的特征值， i 是属于 i 的特征向量， 即 1,2, , . i i i = = , i n 以 k 乘①式的两端，得 1 1 2 2 0. k k k k k a a a + + = ② 设 1 1 2 2 0, k k i a a a a P + + + = ① 又对①式两端施行线性变换 ，得 1 1 1 2 2 2 0. k k k a a a + + = ③
③式减②式得a( - +a( -2 + ...ak-1(k-1-)k-1 = 0由归纳假设，51,52,5k-1线性无关，所以a,(a, -a)= 0, i=1,2,...,k-1.但 ,,,互不相同，所以= =….=a-=0.将之代入①，得 =0，α=0: S±0,故51，52，,5k线性无关.87.5对角矩阵区区
§7.5 对角矩阵 ③式减②式得 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 k k k k k k a a a − + − + − = − − − 由归纳假设， 1 2 1 , , k− 线性无关，所以 ( ) 0, 1,2, , 1. i i k a i k − = = − 但 1 2 , , , k 互不相同，所以 1 2 1 0. k a a a = = = = − 将之代入①，得 0. k k a = 0, 0 k k = a 故 1 2 , , , k 线性无关
3.（推论1）设α为n维线性空间V的一个线性变换，如果的特征多项式在数域P中有n个不同特征值，则可对角化.特别地，(推论2)在复数域C上的线性空间中，如果线性变换?的特征多项式没有重根，则可对角化.$7.5对角矩阵A
§7.5 对角矩阵 特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中， 3. (推论1) 设 为n维线性空间V的一个线性变换， 则 可对角化. 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 如果 的特征多项式在数域P中有n个不同特征值， 对角化