第九章欧氏空间s6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基S7向量到子空间的距离一最小二乘法83同构S8酉空间介绍84正交变换小结与习题85子空间
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间
s 9.1定义与基本性质欧氏空间的定义二欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、E欧氏子空间S9.1定义与基本性质
§9.1 定义与基本性质 一、欧氏空间的定义 §9.1 定义与基本性质 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
问题的引入：1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，其具体模型为几何空间R2、R3.但几何空间的度量性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质都可以通过内积反映出来：长度：α=Vα.αα:β夹角<α,β> ： cos<α,β>=[αl/ β]3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质S9.1定义与基本性质区区
§9.1 定义与基本性质 问题的引入： 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 其具体模型为几何空间 R R 2 3 、 , 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 但几何空间的度量 长度： = 都可以通过内积反映出来： , cos , 夹角 = ： 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β，定义一个二元实函数，记作(α,β），若(α,β)满足性质：Vα,β,eV,VkER（对称性）1° (α,β)=(β,α)（数乘）2° (kα,β)= k(α,β)3° (α+β,)=(α,)+(β,)（可加性）4° (α,α)≥0,当且仅当α=0时(α,α)=0.（正定性）$9.1定义与基本性质区
§9.1 定义与基本性质 满足性质： , , , V k R 1 ( , ) ( , ) = 2 ( , ) ( , ) k k = 3 ( , ) , ( , ) + = + ( ) 4 ( , ) 0, 当且仅当 = 0 时 ( , ) 0. = 一、欧氏空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) （对称性） （数乘） （可加性） （正定性）
则称(α,β为α和β的内积，并称这种定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间注：欧氏空间V是特殊的线性空间①V为实数域R上的线性空间;②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算； (α,β)e R.89.1定义与基本性质K
§9.1 定义与基本性质 ① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ ( , ) . R 欧氏空间 V是特殊的线性空间 则称 ( , ) 为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 注：