第九章欧氏空间S6对称矩阵的标准形S1定义与基本性质S2标准正交基S7向量到子空间的距离一最小二乘法S3同构S8酉空间介绍S4正交变换小结与习题85子空间
§2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间
S 9.2标准正交基正交向量组一、二、标准正交基三、正交矩阵69.2标准正交基
§9.2 标准正交基 一、正交向量组 §9.2 标准正交基 二、标准正交基 三、正交矩阵
正交向量组定义：设V为欧氏空间，非零向量αj,αz,",αmV如果它们两两正交，则称之为正交向量组注:①若α≠0，则α是正交向量组②正交向量组必是线性无关向量组，69.2标准正交基
§9.2 标准正交基 设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 2 , , , , m V ① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 一、正交向量组 定义： 如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：
证：设非零向量αj,α,,,αmEV两两正交令kα+k,α,+...+kmαm=0, k,ER,则 (α,Zk;α,)=Zk;(α,α,)=k(αj,α,)=0-=由α;±0知 (α,α,)>0,.. k, =0, i=1,2,,m.故αi,α2,,αm线性无关S9.2标准正交基A-
§9.2 标准正交基 证：设非零向量 两两正交. 1 2 , , , m V 令 1 1 2 2 0, , m m i k k k k R + + + = 则 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m m i j j j i j i i i j j k k k = = = = = 由 i 0 知 ( , ) 0, i i 0, 1,2, , . i = = k i m 故 1 2 线性无关. , , , m
③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组例如：R3中 α,=(1,1,0)，αz=(1,0,1)线性无关。但αi，α2不是正交向量组：(α,α,)=1±0.①n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n.69.2标准正交基
§9.2 标准正交基 ④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n. ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 1 2 ( , ) 1 0. = 1 2 例如： 中 = = (1,1,0), (1,0,1) 3 R 线性无关． 但 1 2 不是正交向量组.