第八章入一矩阵S1入一矩阵S4矩阵相似的条件S2入一矩阵的S5矩阵相似的条件标准形s6若当(Jordan）标准形S3不变因子的理论推导小结与习题
§2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §1 λ－矩阵 §4 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 §5 矩阵相似的条件 小结与习题 第八章 λ─矩阵
$ 8.4矩阵相似的条件定理：数字矩阵A,B相似台aE-A与aE-B等价88.4矩阵的相似
§8.4 矩阵的相似 §8.4 矩阵相似的条件 定理： 数字矩阵 A B E A E B , 相似 − − 与 等价
引理1：设P为数域 A,Bpnn,若有 P,2,pxn使E-A= P(aE-B)Ωo1则A与B相似.证： 由 P(αE-B)Q =PEQ-P,BQo=PQ-P,BQ =E-A得PQ=E,P,BQ=A即 P,=Q-，A=Q-"BQ．：A与B相似88.4矩阵的相似A
§8.4 矩阵的相似 设P为数域 A B P , , n n 若有 0 0 , ， n n P Q P 则A与B相似. 证：由 ( ) P E B Q 0 0 − = − P Q P BQ 0 0 0 0 = − E A 得 0 0 0 0 P Q E P BQ A = = , 即 1 0 0 P Q , − = 引理1： ( ) 使 E A P E B Q − = − 0 0 ① ∴ A与B相似. 1 0 0 A Q BQ . − = = − P EQ P BQ 0 0 0 0
引理2：对任意 A pnxn及任意-矩阵U(a),V(a)一定存在-矩阵 Q(a),R(a)及 U,Ve pmn使 U(a)=(aE-A)Q(a)+U.2V(a)= R(a)(aE- A)+V388.4矩阵的相似
§8.4 矩阵的相似 对任意 A P n n 及任意 -矩阵 U V ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) 使 U E A Q U = − + 0 ② ( ) ( )( ) V R E A V = − + 0 ③ 一定存在 -矩阵 Q R ( ), ( ) 及 0 0 , , n n U V P 引理2：
证: 设 U(a)=D,a"+D,am-1 +..+Dm-ia+Dm,这里 D,D,..,DmE Pnxn, 且 D, +0.i) 若m=0,则令 Q(a)=0,U。=D.ii）若 m>0，设Q(2) =2,am-1 +Q,am-2 + ...+ Qm-2a +Qm-1,这里Q;εPxn为待定矩阵．于是(aE - A)Q(a)= Q,a" +(Q, - AQ.)am- +..+(Qx - AQk-1)am-k + ..+(Qm-1 - AOm-2)a - AQm-188.4矩阵的相似A
§8.4 矩阵的相似 证： 这里 0 1 , , , , 且 n n D D D P m 0 D 0. ( ) 1 0 1 1 , m m U D D D D m m − 设 = + + + + − i) 若 m = 0, 则令 ( ) 0 0 Q U D = = 0, . ii）若 m 0, 设 1 2 0 1 2 1 ( ) , m m Q Q Q Q Q m m − − = + + + + − − 这里 为待定矩阵. n n Q P i 于是 ( ) 1 0 1 0 m m Q Q AQ − = + − + ( 1 1 2 1 ) ( ) m k Q AQ Q AQ AQ k k m m m − + − + + − − − − − − ( E A Q − ) ( )