2.性质 (1) 线性变换把零元素仍变为零元素 (2) 负元素的象为原来元素的象的负元素 (3) 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明]线性变换T(kc+y)=k(Tx)+I(Ty) (1)T(O)=T(0x)=0(Tx)=O (2)T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx) (3)元素组x,x2,…,xm线性相关，即存在一组不全为零的数 k,k2,…,kn使 6
2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换T kx ly k Tx l Ty ( ) () () += + （1）T O T x Tx O ( ) (0 ) 0( ) = = = （2）T x Tx Tx ( ) ( 1)( ) ( ) − = − =− （3）元素组 1 2 ,,, m xx x 线性相关，即存在一组不全为零的数 1 2 ,,, m kk k 使 6
∑kx=0 则 T2kx)=2k(0x)=T0)=0 .{Tx}线性相关。 [得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无 关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换T将所 有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换， 其变换矩阵为满秩矩阵。 7
1 0 m i i i k x = ∑ = 则 1 1 ( ) ( ) (0) 0 m m ii i i i i T k x k Tx T = = ∑ ∑= = = ∴ {Txi}线性相关。 [得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无 关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换T 将所 有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换， 其变换矩阵为满秩矩阵。 7
3.线性变换的运算 (1) 恒等变换T,:x∈V,Tx=x (2) 零变换T:Hx∈V,Tx=0 (3) 变换的相等：T、T,是V的两个线性变换，x∈V,均有 Tx=Tx,则称T=T (4) 线性变换的和T+T,:x∈V,(T+T)x=Tx+Tx2 (5) 线性变换的数乘kT:x∈V,(kT)x=k(Tx) 负变换：(-T)x=-(Tx) (6) 线性变换的乘积TT,:x∈V,(TT)x=T(Tx) (7) 逆变换T:Vx∈V,若存在线性变换S使得(ST)x=x,则 8
3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换T e： , e ∀∈ = x V Tx x （2） 零变换T0： 0 ∀∈ = x VTx , 0 （3） 变换的相等：T1、T2 是V 的两个线性变换，∀ ∈x V ，均有 Tx Tx 1 2 = ，则称T T 1 2 = （4） 线性变换的和T T 1 2 + ：∀ ∈x V ， 12 1 2 ( ) T T x T x Tx + =+ （5） 线性变换的数乘kT ：∀ ∈x V ，( ) () kT x k Tx = 负变换：( ) () − =− T x Tx （6） 线性变换的乘积TT1 2：∀ ∈x V ， 12 1 2 ( ) () TT x T T x = （7） 逆变换 1 T − ：∀ ∈x V ，若存在线性变换S 使得( ) ST x x ≡ ，则 8