第十四讲 Penrose广义逆（Π)
第十四讲 Penrose 广义逆（Π） 1
一、{1}-逆与{1,2}-逆 定理1：设Y,Z∈AI},则YAZ∈A1,2 证：已知AYA=AZA=A故 (①A(YAZA=AZA=A; (ii） (YAZ)A(YAZ)=YAYAZ-YAZ. 定理2：给定矩阵A及Z∈A{1},则Z∈A{1,2}的充要条件是 rankA=rankZ 证：必要性.Z∈A{1,2}则 (①AZA=A; (ii)ZAZ=Z →A∈Z{1,2 而由rankA()≥rankA可知rankZ≥rankA,rankA≥rankZ 2
一、{1}-逆与{1,2}-逆 定理 1： 设 Y , Z ∈A{1}, 则 YAZ∈A{1,2}. 证 ：已知 AYA = AZA = A 故 (i) A(YAZ)A = AZA = A ; (ii) (YAZ)A(YAZ)=YAYAZ=YAZ . 定理 2：给定矩阵 A 及 Z∈A{1} ，则 Z∈A{1,2}的充要条件是 rankA rankZ = 证 ：必要性. Z∈A{1,2} 则 (i) AZA=A; (ii) ZAZ=Z →A∈Z{1,2} 而由 rankA(1) ≥rankA 可知 rankZ≥rankA , rankA≥rankZ 2
→rankZ=rankA 充分性. 因为R(ZA)sR(Z),而rankZ=rankA,Z∈A{I} rank(ZA)=rank(A)=rank(Z) →R(ZA)=R(Z Ve∈Cm,3u∈C",使ZAu=Ze →ZA[u1u2…um]=Z[ee2…enm] 令[ee2…em]Hlm,[h42…um]=U(4,=n维，e,=m维) →3U使Z=ZAU 故 ZAZ-ZA(ZAU)-ZAU-Z →Z满足Penrose方程(i) 可见，Z∈A1,2} 二、{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 3
⇒rankZ=rankA 充分性. 因为 R(ZA)⊆R(Z) , 而 rankZ=rankA , Z∈A{1} 故 rank(ZA)=rank(A)=rank(Z) →R(ZA)=R(Z) ∀e∈C m , ∃u ∈Cn ,使 ZAu =Ze → ZA[ 1 u 2 u m u ]＝Z[ 1 2 m ee e ] 令 [ 1 2 m ee e ]=I m , [ 1 u 2 u m u ]=U ( i u =n 维， j e ＝m 维) ⇒ ∃U 使 Z=ZAU 故 ZAZ=ZA(ZAU)=ZAU=Z →Z 满足 Penrose 方程(ii) 可见 , Z∈A{1,2}. 二、{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 3
引理：对任意m*n阶矩阵A均有rank(AHA)=rankA=rank(AAH) 证：Hx∈N(A),即Ax=O,则AHAx=0→N(A)CN(AHA) 另一方面Vx∈N(AHA),则 xHAH Ax=-0=(Ax)(Ax)→Ax=0→N(AHA)∈N(A) N(AHA)=N(A),又AHA与A的列数均为n, dimN(A)-n-rankA,dim N(4 A)=n-rank(44) →rank(AHA)=rankA. A←→AH,则rank(AAH)=rank A=rankA 定理3： 给定矩阵A,则Y=(AHA)0AH∈A{1,2,3} 4
引理：对任意 m*n 阶矩阵 A 均有 rank(AH A) = rankA = rank(AA H ) 证： ∀ x∈N(A) , 即 A x =0 , 则 A H A x =0 →N(A)⊆N(A H A) 另一方面 ∀ x∈ ( ) H NAA ，则 H H x A Ax=0＝( ) H Ax ( Ax) ⇒ Ax = 0 → ( ) ( ) H NAA NA ⊆ ( ) ( ) H ∴ = NAA NA ，又 H A A与 A 的列数均为 n , dimN(A)=n－rankA , dim ( ) H NAA =n－rank( ) H A A ⇒ rank( ) H A A ＝rankA . A H ↔ A , 则 rank( ) H AA =rank H A =rankA. 定理 3： 给定矩阵 A , 则 Y= (1) ( ) H H AA A ∈A{1,2,3} 4
Z=A(AAH)0∈A{1,2,4} 证：显然R(AHA)CR(AH),又由引理可知R(AHA)=R(A), 即存在U使AH=AHAU→A=UHAH A (i) AYA=(UH AH A)[(AHA)0AH]A=UHAA=A满足()→Y∈A{I 可见rankY≥rankA 但ankY=ank(AA)PA"）s rank=-rankA. 即rankY=rankA. →Y∈A{L,2} AY=(UHAA)(AA)A"=UHAA(AA)A"AU =U (AHAU=(AY) 5
Z= (1) ( ) H H A AA ∈A{1,2,4} 证：显然 R( ) H A A ⊆R( H A ) , 又由引理可知 R( ) H A A ＝R( H A ) ， 即存在 U 使 H A ＝ H A AU → A= H H U AA AYA=( H H U AA)[ H (1) H (A A) A ]A ( )i = H H U AA=A 满足(i) →Y∈A{1} 可见 rankY≥rankA 但 rankY＝rank(( ) ) (1) H H AA A ≤ rank H A =rankA. 即 rankY＝rankA. →Y∈ A{1,2} AY=( H H U AA) (1) ( ) H H AA A = H H U AA (1) ( ) H H AA A AU = H U ( ) H A AU = ( ) ( ) H AY 5