上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第十章 分离变量法 §10.1 一维波动方程

上游充更大学 X SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY √-九 sinh(V-元t),<0 →X()=L ={X0)6,元=0 X)sin() 九>0 九<0，令x=L→ ) -2 ≡0→X'(0)=0→X(x)=0 2 2=0,令x=L→X'(0)t≡0→X'(0)=0→X(x)=0 >0,令x=L→ X(O V见 sin(√7L)=0→X'(0)=0 特征)固 贝L=kx→元=2=分， 有值 (k=1,2,3,…)

'(0) 0, 0 '(0) 0 ( ) 0; 2 L L X e e x L X X x                  令 1 1 2 2 '(0)sinh( ), 0 '(0) 1 ( ) '(0) '(0) , 0 '(0)sin( ), 0 X t X X x X X t p p X t                                        L L          0, '(0) 0 '(0) 0 ( ) 0; 令x L X t X X x 2 2 2 '(0) 0, sin( ) 0 '(0) 0 , ( 1 2 3 ) k X x L L X L k k k , L , ,                     令 (特征)固 有值

上海充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 再看关于T的方程(8) =九= 2π2 2 (k=1,2,3,…) Tiak1-0 代入ODE(8)可得 其通解为 04+m 由此，就得到方程(1) 满足边界条件(2) 的变量分离的非零特解（分离变量的形式解） uk(x,1)=X(x)T(t) kπ sin (k=1,22…) L Ck合到A、B中去了

由此，就得到方程（1）满足边界条件 （2） 的变量分离的非零特解（分离变量的形式解 ） 代入ODE(8)可得 ( , ) ( ) ( ) sin cos sin k k k k k u x t X x T t k k a k a x A t B t L L L             其通解为 再看关于T的方程(8) Ck 合到A、B中去了 2 2 2 , ( 1 2 3 ) k k k , , , L       ( ) cos sin , k k k k a k a T t A t B t L L     2 2 2 2 0, k T a T L    ( 1,2, ) k 