上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第十章 分离变量法 §10.1 一维波动方程

上游充通大兽 实系数n阶线性ODE求解 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY y(m)+a y1)+...+a-y+an y =0,y=y(x) 由一阶ODE:y'+ay=0→解y=ce4x, 设解都具有这种指数形式y=ce,代入ODE,得到 特征方程：y”+41y”-++an-1y+a,=0 定理：设特征方程共有s个互不相同的根Y2,Y, 重数分别为n,n2,n,n+n2+.+n,=n.则函数组(n个) e,Xe,x2e,,x4eg e,xe,x2e,,x-e;… e xex 是n阶线性ODE的一个基本解组（任意解是这些函数的线性组合）

实系数n阶线性ODE求解 1 ( ) ( 1) ' 1 1 1 1 1 1 y ... 0, ( ). ODE 0 . ODE ... 0 n n n n a x x n n n n a y a y a y y y x y a y a a a                         由一阶 ： 解 y=ce 设解都具有这种指数形式y=ce ，代入 ，得到 特征方程: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 , , ,..., ; , , ,..., ;... , : s ..., , ..., , ... , . ( ) ODE ,. . ( .., s s s s s x x x n x x x x n x x x x n s s x s x x x n n n n n n x x x x n x x                           定理 设特征方程共 e e e 有 个互不相同的根 ， 重数分别为 ， + 则函数组 n个 是n阶线性 的一 e e 个基 e e e e e e 本解组 e 任意解是这些函数的线性组合)

上游充更大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 若存在y,=心，+iB为复根，则必共轭成对出现 y,=0-i邛，也为复根，它们重数一样，为n则基本解组中函数 eeai,=e(cos(B,x)+isin(Bx)). eei=e(cos(B,x)-isin(Bx)). 它们控制的基本解组函数为 ecos(Bx).xecos(B x)xecos(B,x).xecos(Bx): e'sin(p,x),xe*sin(B,x),x2esin(Bx),x”-'e*sin(β，x). 是阶线性ODE的一个基本解组（任意解是这些函数的线性组合

j ( +i )x x ( -i )x x x x 2 x = +i = -i . (cos( x) sin( x cos( x), cos( x), )) (cos( x) - s cos( in( x x), )) j j j j j j j j j j j j j j j j j j x j j x j j j j n e e i e e i e xe x e                              若存在 为复根, 则必共轭成对出现 也为复根， 它们重数一样，为 则基本解组中函数 e ， e ， 它们控制的基本解组函数为 1 x x x x 1 x 2 ..., cos( x); sin( x), sin( x), sin( x),..., sin( x) . ODE ( ). j j j j j j j n j n j j j j x e e xe x e x e                 是n阶线性 的一个基本解组 任意解是这些函数的线性组合

上游充更大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (特征)固有问题 X"(x)+九X(x)=0,(0<x<L), (7) X(0)=X(L)=0. 情形(A) λ<0 其通解为X()=Cex+C,e C1+C2=0, 由边界条件，推出 CeFi+Ce i=0 →C =C2=0 只有零解X(x)=0 情形(B) 入=02次积分其通解为 X(x)=C+C2x, 由边界条件，可推出 C1=C2=0 只有零解。 '.u(x,t)=X(x)T(t)≡0

(II) (特征) 固有问题 情形（A） 情形（B）   0   0 其通解为 ( ) , 1 2 x x X x C e C e      由边界条件，推出 0, C1 C2  1  2  0  L   L C e C e   C1  C2  0 只有零解 2次积分其通解为 ( ) , 1 2 X x C C x 由边界条件，可推出 C1  C2  0 只有零解。 X(x)  0    u x t X x T t ( , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0, (0 ), (7) (0) ( ) 0. X x X x x L X X L           

上游充更大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 情形(C) 入>0方程的通解为 X(x)=C cosx+C2 sinx, 由边界条件X(0)=0推出C=0, 再由X(L)=C2sinV元L=0,知道为了使C,≠0， 必须 sin√λL=0. 于是有 √L=kπ，(k=1,2,3,】 (特征)固 入==已 (k=1,2,3,…). 有值 这样就找到了一族非零解 kπ X.(x)=Ck sin (k=1,2,…) (特征)固有函数

情形（C）   0 方程的通解为 ( ) cos sin , 1 2 X x C x C x 由边界条件X(0) = 0推出 0, C1  再由 ( ) sin 0, X L  C2 L  知道为了使 C2  0, 必须 sin L  0. 于是有 这样就找到了一族非零解 (特征)固 有值 (特征)固有函数 2 2 2 , ( 1 2 3 ). k k , , , k L       ( ) sin , ( 1,2, ) k k k X x C x k L      L k   , (k 1,2,3, )

上游充通大 法二：应用L-变换求ODE边值问题 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY X"(x)+元X(x)=0,0<x<L, (7) X(0)=X(L)=0. 解：令F(p)=L[X(x)],方程两边取Laplace变换， 像原微 >p2F(p)-pX(0)-X'(0)+F(p)=0, 用到（原像）高阶微分性L[f(t)]=F(p): L[fm(]=pF(p)-p-f0)-p-2f'(0)-fa- (0 →X X'(0) p +入

法二：应用L-变换求ODE边值问题   2 : ( ) ( ) , Laplace ( ) (0) '(0) ( ) 0 F p X x p F p pX X F p        像原微分 解 令 L 方程两边取 变换， ， 2 '(0) ( ) X X p p     1 sinh 2 (0) ( ) sinh 2 sinh 2 t t x x t    令       ( ) ( ) 0, 0 (0) ( ) ) 0 , (7 . X x L X X x x X L              ( ) 1 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) n n n n n f t F p f t p F p p f p f f              用到(原像)高阶微分性 L ： L