江画工太猩院 因为(x,J,n)是曲面上的切点, 满足方程∴x=土1 所求切点为(1,2,),(-1-2,2, 切平面方程() 2(x-1)+8(y-2)+12(x-2)=0 →x+4y+6x=2l 切平面方程(2) 2(x+1)-8(y+2)-12(z+2)=0 →x+4y+6z=-21
江西理工大学理学院 因为 是曲面上的切点， ( , , ) 0 0 0 x y z 1 , ∴ x 0 = ± 所求切点为 满足方程 ( 1 , 2 , 2), ( − 1 , − 2 , − 2), 2 ( x − 1 ) + 8 ( y − 2 ) + 12 ( z − 2 ) = 0 ⇒ x + 4 y + 6 z = 21 − 2 ( x + 1 ) − 8 ( y + 2 ) − 12 ( z + 2 ) = 0 ⇒ x + 4 y + 6 z = −21 切平面方程(1) 切平面方程(2)
江画工太猩院 二、方向导数与梯度问题的提出 实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是 1,1),(5,1),(1,3),(53.在坐标原点处有一个 火焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比,在(3,2处有 个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向 (即梯度方向)爬行
江西理工大学理学院 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行． 二、方向导数与梯度问题的提出
江画工太猩院 三、方向导数的定义 讨论函数乙=f(x,y)在一点P沿某一方向 的变化率问题 设函数z=f(x,y)在点 y P(x,y)的某一邻域U(P) 内有定义,自点P引射线L. qM 设x轴正向到射线l的转角 为g,并设P(x+Ax,y+Ay)0 为l上的另一点且P∈U(p).(如图)
江西理工大学理学院 讨论函数 在一点 P沿某一方向 的变化率问题． z = f ( x , y ) 三、方向导数的定义 o y x ϕ l • P′ ∆x ∆y • P 内有定义，自点 引射线 ． • 的某一邻域 设函数 在点 P l P x y U P z f x y ( , ) ( ) = ( , ) ( ). , ( , ) l P U p P x x y y x l ′∈ ′ + ∆ + ∆ 为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角 ϕ （如图）
江画工太猩院 PPF=p=△x)2+(4y), 且z=f(x+△x,y+Δy)-f(x,y), 考虑, 当P沿着l趋于P时, inf(x+△r,y+y)-f(x,y)是否存在?2 p+0
江西理工大学理学院 Q| PP′ |= ρ ( ) ( ) , 2 2 = ∆x + ∆y 且 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y), 当 沿着 趋于 时， P′ l P ρ ρ ( , ) ( , ) lim 0 f x + ∆x y + ∆y − f x y → , ρ ∆z 考虑 是否存在？
江画工太猩院 定义函数的增量∫(x+Ax,y+小y)-f(x,y)与 PP两点间的距离ρ=(4x)2+(4y2之比值, 当P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数 记为9=lmnf(x+△r,y+Ay)-f(x,y) al 依定义,函数f(x,y)在点P沿着x轴正向E1={1,0}、 y轴正向2={04的方向导数分别为f,f 沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是-fx,-f
江西理工大学理学院 . ( , ) ( , ) lim ρ 0 ρ f x x y y f x y l f + ∆ + ∆ − = ∂ ∂ → 依定义，函数 f ( x, y)在点P沿着x轴正向 {1,0} e1 = r 、 y轴正向 {0,1} e2 = r 的方向导数分别为 x y f , f ； 沿着x轴负向、 y轴负向的方向导数是 x y − f ,− f . 则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数． 当 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在， 两点间的距离 之比值， 定义 函数的增量 与 P l P l P PP x y f x x y y f x y ′ ′ = + + + − 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ρ ∆ ∆ ∆ ∆ 记为