江画工太猩院 定理如果函数乙=f(x,y)在点P(x,y)是可微 分的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数 都存在,且ga =ncoS+a sin a ax ay 其中q为x轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 f(x+△,y+4y)-f(xy)=△x4y+0(p) 两边同除以P,得到
江西理工大学理学院 定理 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)是可微 分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数 都存在，且有 cosϕ sinϕ y f x f l f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 其中ϕ为x轴到方向 L 的转角． 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o(ρ) y f x x f f x x y y f x y ∆ + ∂∂ ∆ + ∂∂ +∆ +∆ − = 两边同除以 ρ , 得到
江画工太猩院 J(x+△,y+24)-(x,)=9.△+可,4+p ax p ay cos p Sing 故有方向导数 Qsmf(x+△x,丿+△y)-f(x,y) cosp+osin p. Oy
江西理工大学理学院 cosϕ sinϕ ρ ρ ρ ρ ρ ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f + ∆⋅ ∂ ∂ + ∆ ⋅ ∂ ∂ = + ∆ + ∆ − 故有方向导数 ρ ρ ( , ) ( , ) lim 0 f x + ∆x y + ∆y − f x y → cosϕ sinϕ. y f x f ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ l f
江画工太猩院 例4求函数乙=Xe2在点P(1,0)处沿从点P(0) 到点Q(2,-1)的方向的方向导数 解这里方向l即为PQ={1,-1, 故x轴到方向l的转角φ= =exe 10 (1,0) 所求方向导数 兀、 =c0(-")+2sin(-:)=
江西理工大学理学院 例 4 求函数 y z xe 2 = 在点P(1,0)处沿从点P(1,0) 到点Q(2,−1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向l r 的转角 4π ϕ = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = = ∂ ∂ y e x z Q 2 2, (1,0) 2 (1,0) = = ∂ ∂ y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos( π + − π = − ∂∂lz . 22 = − 这里方向l r 即为PQ = {1,−1}