江画工太猩院 全微分的几何意义 因为曲面在M处的切平面方程为 区-Ff(x,x-x)+∫(x,y- 切平面函数z=f(x,y)在点(x)全微分 上点的 竖坐标 的增量 z=∫(x,y)在(x,y)的全微分,表示 曲面z=f(x,y)在点(x0,y,)处的 切平面上的点的竖坐标的增量
江西理工大学理学院 ( , )( ) ( , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 z z f x y x x f x y y y − = x − + y − 切平面 上点的 竖坐标 的增量 函数z = f (x, y)在点(x0 , y0 )的全微分 因为曲面在M处的切平面方程为 全微分的几何意义 z = f (x, y)在( , ) 0 0 x y 的全微分，表示 曲面 z = f (x, y)在点( , , ) 0 0 0 x y z 处的 切平面上的点的竖坐标的增量
江画工太猩院 若a、B、y表示曲面的法向量的方向角, 并假定法向量的方向是向上的,即使得它与 轴的正向所成的角y是锐角,则法向量的方向 余弦为 COSa= -f 1+f+f 其中 1+∫+f f=f(x0,)
江西理工大学理学院 若 α 、 β 、 γ 表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角 γ 是锐角，则法向量的方向 余弦 为 , 1 cos 2 2 x y x f f f + + − α = , 1 cos 2 2 x y y f f f + + − β = . 1 1 cos 2 2 x y + f + f γ = ( , ) 0 0 f f x y x = x ( , ) 0 0 f f x y y = y 其中
江画工太猩院 例1求旋转抛物面z=x2+y2-1在点(2,1,4) 处的切平面及法线方程 解f(x,y)=x2+y2-1, 21=212,2y-1(14+=(42,-1, 切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0, →4x+2y-x-6=0, 法线方程为-2=y-1z-4 42 -1
江西理工大学理学院 例 1 求旋转抛物面 1 2 2 z = x + y − 在点(2,1,4) 处的切平面及法线方程. 解 ( , ) 1, 2 2 f x y = x + y − (2,1,4) (2,1,4) n = {2x, 2 y,− 1} r = {4, 2,−1}, 切平面方程为 4(x − 2) + 2( y − 1) − (z − 4) = 0, ⇒ 4x + 2 y − z − 6 = 0, 法线方程为 . 1 4 2 1 4 2 − − = − = x − y z
江画工太猩院 例2求曲面乙-2+2xy=3在点(1,2,0处的 切平面及法线方程 解令F(x,y,z)=z-已2+2xy-3, x(1,2,0) (1,2,0) 1,2,0) (1,2,0) F 3(1,2,0) (1,2,0) 切平面方程4x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0, →2x+y-4=0, 法线方程 x-1y-2z-0 0
江西理工大学理学院 例 2 求曲面z − e + 2xy = 3 z 在点(1,2,0)处的 切平面及法线方程. 解 F(x, y,z) = z − e + 2xy − 3, z 2 4, (1,2,0) (1,2,0) Fx′ = y = 2 2, (1,2,0) (1,2,0) Fy′ = x = 1 0, (1,2,0) (1,2,0) ′ = − = z z F e 令 切平面方程 法线方程 4(x − 1) + 2( y − 2) + 0 ⋅(z − 0) = 0, ⇒ 2x + y − 4 = 0, . 0 0 1 2 2 1 − = − = x − y z
江画工太猩院 例3求曲面x2+2y2+3z2=21平行于平面 x+4y+6乙=0的各切平面方程 解设(x,y,)为曲面上的切点, 切平面方程为 2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6x0(z-d0)=0 依题意,切平面方程平行于已知平面,得 s≠A 46z ,→x0=y0=列
江西理工大学理学院 例 3 求曲面 2 3 21 2 2 2 x + y + z = 平行于平面 x + 4 y + 6z = 0的各切平面方程. 解 设 为曲面上的切点 ( , , ) , 0 0 0 x y z 切平面方程为 2x0 (x − x0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6z0 (z − z0 ) = 0 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 , 6 6 4 4 1 2 0 0 0 x y z = = 2 . 0 0 0 ⇒ x = y = z