理论习题15 3.从n个元素里取r个，如考虑抽取次序的话有多少种取法？ 4.有n个球，其中，个黑球，n一”个白球，把它们排成一排，用组合学知识解释共有(） 种排法 5.计算形如（红1，正2，xn)的向量的个数，其中x等于0或者1，且∑n1x≥k 6.有多少个这样的向量(x1,.,工，其中x4是正整数，且满足1≤x:≤n和x1<x2< 下7 7.用分析的方法证明等式(4.1). 8.证明(+m）-()(）+((”)++(（）() 提示：设有n个男人和m个女人，从中挑选r人，一共有多少种挑选方法？ 9.利用理论习题8的结论证明：(）=：-（份）° 10.从n人中选取k人组成一个委员会，k≤n,其中一人被任命为主席。 (a)考虑先选出k人，然后任命其中一人为主席，说明总共有()k种可能方式， (b)考虑先选出k-1人，其中没有主席，然后再在剩下的n一k+1人中选一人为主席， 总共有（”)(n-k+1)种可能方式 (⊙考患先选出士席，然后再选出其他成员，说明一共有n(?二》种可能选择 @总结(@，(，得出()=a-k+(”）=n(公二） 19 (回)利用(）的阶乘定义证明@)中等式 11.以下是费马组合恒等式： ()-(-)n≥k 试从组合的角度，而不用计算的方法，去验证该恒等式. 提示：考虑从1到n的集合，以i为最大值的含有k个元素的子集一共有多少个？ 12.考虑如下组合恒等式， 2份=n2 (a)试从组合的角度解释上式，可考虑从n人中挑选若千人组成委员会并在其中选定 一名主席的可能方式的两种计算方法 提示： ()如果选择k人组成会员会并选定一名主席，一共有多少种方法？ ()先选好主席，然后再选其他成员，一共有多少种选法？ (b)证明以下等式对n=1,2,3,4,5都成立： 三月R*a+)
16第1章知合分析 为了从组合的角度证明上式，指出上式的两边都等于如下的可能选择方式：考虑有 n个人，从中选择若干人组成一个委员会，并选定主席和秘书（有可能是同一人）. 提示： ()委员会一共有k人，一共有多少种选择方式？ ()如果主席和秘书为同一人，一共有多少种选择方式？（答案：n2n-1) ()如果主席和秘书为两个不同的人，一共有多少种选择方式？ (c)证明∑发=1(k3=2m-3n2(n+3) 13.证明，对n>0,有∑(-1)（份）=0 提示：利用二项式定理 [2知14.从n个人里选j个人组成委员会，再从这会员会里选：个人组成分会，i≤， ()用两种方法分别计算委员会和分会的可能选择数来导出组合恒等式.其中，第一种 方法是先选择了个人组成委员会，再从中选择：个人组成分会.第二种是先选择 个人组成分会，再补充j一i个人组成委员会. (b)利用(a)证明组合恒等式：∑1(（月=（仍2n-≤元 (@利用(a)和理论习题13证明∑=1()）)(-1)-=0i≤n 15.令Hk(n)为向量(x1,x2,.,Ek)的数目，其中x是正整数且满足1≤x4≤n及 x1≤x2≤.≤xk (a)不用任何计算，说明 Hi(n)=n He(n)=∑H&-1G)k>1 提示：如果xk=j,那一共有多少向量？ (b)利用上述递推公式计算H3(⑤). 提示：先计算H2(n,对n=1,2,3,4,5. 16.有”个选手参加比赛，最后排定成绩，同时允许选手排名相同.那么，就可按排名成绩 将选手分成组，成绩最好的第一组，成绩其次的第二组，等等.记N()表示不同结果的 可能数，比如N(2)=3,因为在-一个只有2名选手参加的比赛中，比赛结果一共有3种 第一个选手获第一，第二个选手获第一，两个选手并列第一 (a)列出所有n=3时的可能结果； (b)令N(O)=1,不用任何计算，说明N(m)=∑1()N(n-)提示：共有i个选手 并列最后一名，一共有多少种结果？ (C)证明上述公式等价于N(m)=∑d()N() (@)利用上述递推公式，求出N(3)和N(4
自检习题17 17.从组合的角度解释(）=(”，) 21 18.证明 1 (n,a,n）-气n1-lm2,n+(n.”i,n++(n1,mn-i） n-1 提示：利用证明公式(4.1)的类似方法 19.证明多项式定理. *20.将n个相同的球放到r个坛子里，要求第i个坛子至少有m4个球，i=1,·,r,一共 有多少种放法？假设n≥∑：m4。 21.说明方程+++=n正好有（们(”十）个解其中有太个红为0 22.考虑n元函数f(x1,·,xn),一共有多少个r阶偏微分？ *23.求向量(x1,·,xn)的数日，其中为非负整数且满足∑1：≤k 自检习题 1.字母A,B,C,D,E,F一共有多少种排列方式，如果 (a)A和B必须在一起； (b)A在B之前； (c)A在B之前，B在C之前； (d)A在B之前，C在D之前 (©)A和B必须在一起，C和D也必须在一起；（们）E不在最后. 2.4个美国人、3个法国人和3个英国人坐在一排，要求相同国籍的人必须坐在一起，一 共有多少种坐法？ 3.从有10人的俱乐部中分别选1名总裁、1名财务和1名秘书，一共有多少种选法，如果 (a)没有任何限制： (b)A和B不能同时被选： (C)C和D要么同时被选，要么同时不被选；(d)E必须被选： (©)F被选中的话，必须担任总裁. 4. 一次考试中，学生应从10道考题中选择7道回答，一共有多少种选法？如果规定必须 在前5道中至少选3道，那么有多少种选法？ 5某人将7件礼物分给他的3个孩子，其中老大得3件，其余两人分别得2件，一共有 多少分法？ 6.7位汽车牌照中有3位是字母，4位是数字，如果允许字母或数字重复且位置没有任22 何限制，一共有多少种可能的牌照号？ 7.从组合的角度解释恒等式：(C)=（”,) 8.考虑一个n位数，每位数字都是0,1，.，9中的-个，一共有多少个这样的数？如果 (a)没有连续的相同的两个数字；(b)0出现i次，i=0,·,n 9.有三个班级，每个班级有n个学生，从这3个学生中选3人 (a)一共有多少种选法？
、 18第1章组合分析 (b)如果3人来自于相同班级，一共有多少种选法 (©)如果有2人来自于相同班级，另1人来自于其他班级，一共有多少种选法？ d)3人分别来白不同的班级.一共右多少种洗洪？ (e)利用(a)到(d)的结果，写出一个组合恒等式 10.由数字1,2，.，9组成的5位数一共有多少？这5个数字中不容许有数字重复多于2 次（例如，41434是不容许的） 11.有2n个选手参如网球比赛，第一轮，将他们分为n对，每对进行比赛，每对将决出一 个获胜者.那么第一轮的结果有多少种？结果应包括分组方式及胜负情况。 12.从7个男人、8个女人中选取6人组成委员会，如果要求至少3个女人、2个男人， 共有多少种选取方法？ *13.一个艺术品收藏拍卖会一共有15件艺术品，其中4件达利的、5件凡高的和6件毕 加素的.一共有5名艺术品收藏家买下了这批艺术品。而某记者只记载了每位收藏家 得到的达利、凡高和毕加索作品的数量，问销售记录能有多少种不同的结果？ *14 计算向量(c1,.,xn)的个数，如果x:是正整数，且∑”，≤k其中k≥n 15.n个学生参加保险精算师的考试，公榜结果只列出那些通过考试的学生名单，并且按 照他们的分数由高到底进行排序，例如，公榜结果为“Brown,Cho”意味着只有Brown 和Cho通过了考试，而且Bowm分数比Cho的高.如果没有相同的分数，那么公布 的考试结果一共有多少种情况？ 16.从集合S={1,2,·,20}中选4个元素组成子集，并且1,2,3,4,5中至少有一个被选 中，一共有多少种子集？ 17.给出下列恒等式分析的证明 (份）=()+-利+(2) 1≤k≤n 28 并给出该恒等式的组合解释
第2章概率论公理化 2.1简介 本章介绍事件的概率这一概念，并展示在某些特定情形下计算概率的方法.在 引入概率的概念之前，先要学习更基本的概念一试验的样本空间和事件. 2.2样本空间和事件 假设某次试验的结果是不可预测、不确定的.当然，尽管在试验之前无法得知 结果，但是假设所有可能的结果的集合是知道的.所有可能的结果构成的集合，称为 该试验的样本空问(sample space),并记为S.以下是样本空间的一些例子. (1)若试验是考察新生婴儿的性别，那么所有可能结果的集合S={g,b}就是 个样本空间，其中g表示“女孩”，b表示“男孩” (2)赛马比赛中一共有7匹马参赛，这7匹马分别标以1,2,3,4,5,6,7.考察比 赛结果，所有可能的比赛结果的集合S={(1,2,3,4,5,6,7)的所有7！种排列}就是一 个样本空间.比如(2,3,1,6,5,4,7)就表示2号马跑第一，3号马跑第二，接下来是1 号马.这是比赛的一种可能结果 (3)掷两枚硬币，考察哪一面朝上，那么样本空间一共包含如下四种结果： S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T} 24 其中(H,H)表示两枚硬币都是正面朝上'；(H,T)表示第一枚硬币正面朝上，第二枚 反面朝上：(T,H)表示第一枚硬币反面朝上，第二枚正面朝上：(T,T)表示两枚硬币都 是反面朝上 (4)掷两枚骰子，考察两枚骰子的点数，那么样本空间包含36个结果： S={(i,):,j=1,2,3,4,5,6} 其中，（位，）表示第一个骰子的点数是，第二个骰子的点数是j. (5)考察一个晶体管的寿命（小时），那么样本空间是所有的非负实数，也即： S={x:0≤x<∞} 1.本书中，我们约定H表示正面朝上，T表示反面朝上.一译者注