V±02. 证明：f(x,y)=3(x2x? +y2 = 0在点（00）处连续且偏导数存在，但不可微利用2xy≤x2+y2,知提示：禾1 f(x, y)/≤(x2 + y2)limf(x,y)=0= f(0, 0)x-0y-→0故f在（0,0）连续又因 f(x,0)= f(0,y)=0, 所以fx(0,0)= ,(0,0)= 0HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录
+ = + + = 0 , 0 , 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 提示: 利用 2 , 2 2 xy x + y 2 1 2 2 ( ) 4 1 f (x, y) x + y lim ( , ) 0 (0, 0) 0 0 f x y f y x = = → → 故f 在 (0,0) 连续; 又因 f (x,0) = f (0, y) = 0, (0,0) = (0,0) = 0 x y 所以 f f 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(Ax)?(Ay)?而△f(0,0)[(x)? +(Ay)? j2当△x→0,△y→0时f(0,0)(△x)(△y)2[(△x)? +(Ay)? ?V(△x)? +(Ay)所以f在点(0.0)不可微！HIGH EDUCATION PRESS机动上页下页返回结束自录
而 f (0,0) = 当x → 0，y → 0时, 2 2 (0,0) ( x) ( y) f + 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + = 0 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 2 3 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 已知 f(x+y,x-y)=x2-2 +(x+y),且f(x,O)= x,求出f(x,y)的表达式u=x+y,=x-y,则解法1令x=(u+v),y=}(u-v)f(u,v)=(u+v)? -(u-v)? +(u)=uv+(u)即f(x,y)=xy+p(x)I: f(x, 0)=x, . 0(x)=xf(x,y)= x(y+l)解法2 : f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y)+β(x+y)以下与解法1 相同f(x,y)=xy+p(x)HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录
例1. 已知 求出 f (x, y) 的表达式. 解法1 令 f (u,v) 即 f (x , 0) = x, f (x, y) = x ( y +1) 解法2 f (x + y, x − y) = (x + y)(x − y) + (x + y) 以下与解法1 相同. ( , ) ( ), 2 2 f x + y x − y = x − y + x + y f (x，0) = x, 则 (x) = x 且 v = x − y , ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 4 1 = u + v − u − v + u 机动 目录 上页 下页 返回 结束
多元函数微分法二、显示结构1.分析复合结构画变量关系图隐式结构自变量个数=变量总个数一方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页
二、多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束