证：由于线性齐次微分方程(1)满足初始条件 y(xo)=yo,y(xo)=y1, 0,y1∈R, (2) 的初值问题通过变换y=z可化为二阶线性齐次微分方程组 y=z, y(xo)=yo, =-p(x)z-g(x)y,z(xo)=y1, 因此定理的证明可由下面的定理27得到.证毕. 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的暴级数解法
y: duÇ5‡gá©êß (1) ˜v–©^á y(x0) = y0, y 0 (x0) = y1, y0, y1 ∈ R, (2) –äØKœLCÜ y 0 = z åzè Ç5‡gá©êß| y 0 = z, y(x0) = y0, z 0 = −p(x)z−q(x)y, z(x0) = y1, œd½ny²åde°½n 27 . y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘! Ç5á©êßò?Í){
设问：常点情况下，二阶线性齐次微分方程解析解的存在性和存 在区间问题都解决了。 ●奇点的邻域是否有收敛的幂级数解？ 幂级数解的理论：奇点情况 考虑二阶线性齐次微分方程(1)在奇点邻域解析解的存在性. 如果 p()= P(x) 2(x) q(x)= X-X0 (c-x02 (3) 且P(x),Q(x)在xo的某邻域可展成收敛的幂级数， P(xo)2+Q(xo)2≠0，称x0是方程(1)的正则奇点. 口1回”1怎”“主12月双0 张样：上海交通大学数学系 第十四讲，二阶线性微分方程的器级数解法
ص~:ú¹e, Ç5‡gá©êß)¤)35⁄ 3´mØK—)˚ " ¤:祃k¬Òò?Í)º ò?Í)nÿ: ¤:ú¹ ƒ Ç5‡gá©êß (1) 3¤:ç)¤)35. XJ p(x) = P(x) x−x0 , q(x) = Q(x) (x−x0) 2 , (3) Ö P(x), Q(x) 3 x0 ,çå–§¬Òò?Í, P(x0) 2 +Q(x0) 2 6= 0, ° x0 ¥êß (1) K¤:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘! Ç5á©êßò?Í){
例：判定二阶线性微分方程 x(1-x2)y”+y+x-1=0 和 x31+x2)y"+x2y+x-1=0 的奇点及其类型 口0·4之·4生+2刀a0四 张样：上涛交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的察级数解法
~: ½ Ç5á©êß x(1−x 2 )y 00 +xy0 +x−1 = 0 ⁄ x 3 (1+x 2 )y 00 +x 2 y 0 +x−1 = 0 ¤:9Ÿa. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘! Ç5á©êßò?Í){
定理57 设xo是方程(1)的正则奇点，且p(x)9(x)由(3)给出.则方 程(1)在0的某邻域内有收敛的广义幂级数解 =收-r2a以w0 (4) 其中ck,k≥1可以迭代地求出，V是方程(1)的指标方程 s(s-1)+P(xo)s+0(xo)=0. 的根（称为指标根）之一（如果指标根都是实的，V是其中最大的 一个；如果指标根是一对共轭复数，V是其中的任一个) 日+84艺·+主12月80 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的器级数解法
½n 57 x0 ¥êß (1) K¤:, Ö p(x),q(x) d (3) â—. Kê ß (1) 3 x0 ,çSk¬Ò2¬ò?Í) y(x) = (x−x0) ν ∞ ∑ k=0 ck(x−x0) k , c0 6= 0, (4) Ÿ• ck, k ≥ 1 å±Sì/¶—, ν ¥êß (1) çIêß s(s−1) +P(x0)s+Q(x0) = 0. ä (°èçIä) Éò (XJçIä—¥¢, ν ¥Ÿ•Åå òá; XJçIä¥òÈ›EÍ, ν ¥Ÿ•?òá). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘! Ç5á©êßò?Í){