P33离散型随机变量的卷积公式 定理：设X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P{X=k}=Pk,k=0,1,2, P{Y=r}=qr,r=0,1,2. 则Z=X+的分布律为 P{z=}-之P9ki=01,2 注：当X,Y相互独立时， P834(1)若X~π(2)，Y~π(22)，则X+Y~π(2+22) Pss35 (2)b(n,p),Y ~b(n2,p),X+Y-b(n+n,p)
定理：设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 88 P 34 88 P 35 1 2 1 2 （1）若X Y X Y ~ ( ), ~ ( ) ~ ( ). ，则 + + 1 2 1 2 （2）若X b n p Y b n p X Y b n n p ~ ( , ), ~ ( , ) ~ ( , ). ，则 + + 注：当X Y, 相互独立时， , 0,1,2 , P X k p k = = = k , 0,1,2 . P Y r q r = = = r 则Z X Y = + 的分布律为 0 , 0,1,2 . i k i k k P Z i p q i − = = = = 88 P 33 离散型随机变量的卷积公式
复习：一维连续型随机变量的函数的密度函数 问题：已知X的密度fx(x),求Y=g(X)的密度f,(y) 方法1 F,(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y} =∫sfx(x)dx,（-o∞<x<o),F0)I=f) 方法2 -收U茶& 其它. y=g(x)处处可导，且恒有g'(x)>0(<0), x=h(y)是g(x)的反函数，a<y<B(是y=g(x)的值域)
复习：一维连续型随机变量的函数的密度函数 ( ) { } { ( ) } F y P Y y P g X y Y = = ( ) ( )d , ( ), X g x y f x x x = − 方法1 方法2 [ ( )] ( ) , , ( ) 0, . X Y f h y h y y f y = 其它 ( ) ( ) ( ) 问题：已知X f x Y g X f y 的密度 X Y ，求 = 的密度 [ ( ) ] ( ) F y f y Y y Y = ( ) ( ) 0( 0), ( ) ( ) , ( ( ) ) y g x g x x h y g x y y g x = = = 处处可导，且恒有 是 的反函数 是 的值域
二、两个连续型随机变量函数的分布 (一)Z=X+Y的分布 一本节重点 定理：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y), 边缘概率密度分别为fx(x),f,(y),则 Z=X+Y为一维连续型随机变量，其概率密度函数为 f(a)=∫」f?-y,y)dy =J」"fx,z-x)dx X,Y独立时， (2)=fx(z-y)f(y)dy fx和的卷积公式 =J」fx(xf-dx
二、两个连续型随机变量函数的分布 （一）Z X Y = + 的分布 —— 本节重点 Z X Y = + 为一维连续型随机变量，其概率密度函数为 f x z x x ( , )d − = − f z f z y y y Z ( ) ( , )d − = − X, Y 独立时, f x f z x x X Y ( ) ( )d − = − f z f z y f y y Z X Y ( ) ( ) ( )d − = − f f X Y 和 的 卷积公式 (X Y) ( , ) ( ) ( ) 设二维连续型随机变量 , 的概率密度为 ， 边缘概率密度分别为 X Y ， ，则 f x y f x f y 定理：
证明：设(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则Z=X+Y的分布函数为 Fz()=P{Z≤z}=P{X+Y≤z =J∬fx,y)dxdy x+y≤x fx.)dxldy x+y= x-1-) f(u-y:duldyo =∫∫fu-y,y)dyldu. 由此可得：f()=fz-ydy 同理可得：2(a)=∫fx,z-x)dx
证明：设( , ) ( , ), X Y f x y 的概率密度为 ( , )d d x y z f x y x y + = x y O x y z + = [ ( , )d ] d z y f x y x y − − − = x u y = − [ ( , )d ]d z f u y y u y − − − [ ( , )d ]d . z f u y y y u − − = − f z f z y y y Z ( ) ( , )d − = − 由此可得： ( ) { } F z P Z z Z = 则Z X Y = + 的分布函数为 = + P X Y z { } f z f x z x x Z ( ) ( , )d − = − 同理可得：
f()-Jf(z-y.ydy-Jf(x.:-x)dx X,Y独立时， f2(a)=∫/xa-)f0)dy L(2)-Jfx(x)f(z-x)dx 这两个公式称为f和f,的卷积公式，记为∫x*f,即： Ix*f=Jfx(z-y)S(y)dy=ffv(x)/(z-x)dx
X, Y 独立时, f f f z y f y y X Y X Y * ( ) ( )d − = − ( ) ( )d . X Y f x f z x x − = − f z f z y y y f x z x x Z ( ) ( , )d ( , )d − − = − = − f z f z y f y y Z X Y ( ) ( ) ( )d − = − f z f x f z x x Z X Y ( ) ( ) ( )d − = − 这两个公式称为 X Y f f X Y 和 的 卷积公式, 记为 f f ，即：