第一章概率论的基本概念 来量生尺，粉察仅漏，目尽毛里，白菊暴策 —冲之 圈导学 —《便率论》在《桑合论》的善地上立足 更加复杂的计算工作，得请《微积分》出山，干是有了第二，三、四和五章， 全查可用一句话作为红线申起来， 随事件发生的可能性大小的定义及计的公潭化】 [1]随机率件，定义它为随机杖验￡的若干个可能的结果构成的集合，即S 在学4个关系”3个运算时，要抓住图形，在A一B=A一AB,在数 写”《个律”时，重点是菌·章根律。 学会用字每表示事件，是一个重要的入门点，此关套过不可，香则，对习题 将桌手无 [2]麦生，试酸站果出来了，当且仅这一结果黑于A,则称事件A发生了， 典型情误：认为A发生是指A的所有元素均在试验结果中同时出现，若忽视了 这个餐色，一定会似懂连懂飞石雅到干李科的大门之外 ,皮尔等人的试验，和出端 枚硬币，出正的领率为：0.5181,0.5069. “洪湖水，液打准”很明是，在这一堆不瑞定的数的骨后，有一个确定的数操智 着它幻.这个数是0.5000一概率。 寻找不确定象背后的定因素，是这门学科的核心新究课题。 可裂商餐装子具精材时又多更华学”，多大反复质果更佳
线性代数·复变函数·顺率统计习通全解（下黄）廊 第一立 率论的本顺·本知积姑构 2 [4]定义，学《概率论与数理统计)，最起码得知道什么是概率，否则：根本就 谈不上人门二字，然面，看似简单的东西，一旦上升为理论，就顿时难了起来。给 圆本章如识结物 概率下定义就是如此 定义P(A)为概事，对P()这一集合函数有严格的要求，首先，P()将 任一事件A指定一个实数与对之对应，其次，对P(·)规定了三条，”恒3条”，以 本空一(E的所有可的结来】 及“授性6条“，要倒背如流，推导性质的方法均为核心方法，也要熟。 A为5的任一于是合：”系0了不 [5计算.本章多4，5和56介相了典顺型及其计算，吉型的定义 弧两点，”有限元，等可能，它的计算要公式1”古典 的计算公式 个准变于分？奉 艺条件微率公式：于乘法定理公式：4”全概率公式：5贝叶渐公式心做应性公 式条件顾率是概蜜，相应地有“条概3条“，“条疑性6条”（详见本章知识结构都 -事件发国 分) [6]公理化，学科是否建立，以其是香列有一套公理化体系为标志，公里化 ()-坠，.()有性情.”5 的中心思想为，以若干条不证自明的条文作为基石，并由此进行增导，开拓，近 而搭建起索伟的学科大厦群落。 规华定又 成功堆蒋率论实现公理化的是现代的前苏联大数学家柯尔莫延格，时 P(A)+P(A:)= 间是1933年 学习这门课程时，不妨留意学科体系韵精建过程，没准哪一天，由你所创立 的学科在全世界流传开来，让金发碧眼的外国人学不到白，考不及格.我们阴酚 便单性国 着这一天早口来。 本章的料号推进次序为： 文又护有限元公蒂可能 ESf,(A)P(A)+P(B|A)+B,B.B.为划分+金+贝+ 计养：PA)=中二个整， P(AB)-P(A)P(B) 3P(BA)≥02rP51A)-1 可列可 手机响了，短信来了： BCC-P(B -CIA)-P(BIA)-P(CIA) P(CIA 增字了了歌 P(BCA)可推广到a◆ 地已听不慢课了， 法克AB)=P(AP(B引)(PA)>0)可广m个 他干镜不上课了 全会PA-P(ABP(B)++PAR)P(司 上不上课已无所谓了， -因中新◆人因 )-PAB四事在k#手，泰插无之， 这学有版来统计宠餐了， 口快泰件互刻限愿风中数。 →PA)=P(A)PB)可广到个 之清专泰来，全天因
提性代数·复变函数·服率统计习题全解（下骨）廊 香第一章廉率论的基本凝念·习题全解 9 郎习题全解 (1)(A UB)C -(D:UDI U D.U D,U D:U D.) (D:U D:U D.U D)-D,U D:UD. AC U BC (D:U D)U (D:U D.) S1.1随机试验§1.2样本空间、随机事件 (2)AB UC-D,U D:UC D UC (AUC)(BUC)-(AUCnB)U(AUC 11* 写出下列随机试验的样本空何 ∩C)=DUD:UD,UC-DUC (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）， 4.0指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？ (2)生产产品直到有10件正品为止，记朵生产产品的总件数。 (1)AUB=AEUB成立 (3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品“，不合格的记上“次 (2)AB=AUB不戚立AB表示“事件A不发生而且B发生" 品”，如连续查出2个大品就停业检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 AUB表示“A,B至少有一个发生”显然不等. 结果。 (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 (5)同时掷 (4)(AB)(AB)- 成立 三预设子，记录三模数子点数之和 (6)将一尺之捶折成三段，观泰各段长度， (5)若ACB,则A=AB, 成立 要点人们不能事先确定试验的哪一个结果一定发生，但可事先知道所 (6)若AB=⑦且CCA,则BC=②R立 有可能的结果，它们的集合即样本空间，往后计算率时，首先得知道S=? 《7)若ACB,则BC不 成立 (8)若BCA,则AUB-A 成立 解(1)S={一01，100n}其中#为小班人数 50设S={z0x≤2，A-{x号<x1,B-{zlr< (2)S一{x1x≥10，x为整数 (3S-{00.100,010,1100,1010,0110,1110,110,1011,0111,1111,0表 是1，具体写出下列各事件1)万B(2不UB(3)万0西 示次品】表示正品。 (40={(xy)x2+y<1:(5)5=(3,4.,18) 解A=5-A=(红0云x云之或1<x发2》 (6)设xy,分别表示三段长度，则5-【x,y,)x之0y>00 x+y+=1 1B-川片≤≤含或1<r<是) 2中2设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件。 (2)AUB-{x10≤x≤25 (1)A发生，B与C不发生，(2)A与B都发生，而C不发生 (3)A西=万U万=AUB=z}云x<是 (3)A,B,C中至少有一个发生：(4)A.B,C都发生 (5)A,B,C都不发生，(6)A,B,C中不多于 个发生 (4)A百=S-AB{x0x≤号或1<x2 (7)A,B,C中 不多于两个发生(8)A,B,C中至少有两个发生 要点 试验结果出来丁，要看A是否发生，得看这个结果是香为A中一个 51.3频率与概率§1.4等可能概型（古典概型 元赏，须认真体会“事件发生“这一重要就念，否则，本课程无法入门！ 解(1)AEC(2)ABC (3)A U B UC ()ABC (5)A8C 6.3设A,B为两事件且P(A)-0.6,P(B)=0.7,问(1)在什么条件 Ds/DD. 下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值， (B)AB U BC U AC 最小值是多少？ 3◆0用作图的方法说明下列各等式 要点思考将P(A),P(B),P(AB)联系在一起的公式 (1(A UB)C AC U BC. P(A UB)=P(A)P(B)-P(AB) (2)AB UC-(A UC)(B UC) 解(1)观察上式，已知P(A),P(B)均固定，当P(AUB)最小时，P(AB) 如图11. 图1 最大，当AUB=B,即ACB时，P(AUB)最小，此时P(AB)取到最大值： 最大为P(AB)=P(A)=0.6: (2)当P(AUB)最大时，P(AB)最小.当AUB-S时，P(AUB)取得 ·题号编持衣序，二服中三版，数字0表示没有此愿。 最大值为1，此时，P(AB)取得最小值，最小值为P(AB)=P(A)十P(B)
10 线性代数·复变函数·概率使计习题全解（下椅）雪 意第一章概率论的基本餐在·习题全解 11 P(AUB)=0.6+0.7w1=03. 74设A,B,C为三事件，且P(A)-P(B)=P(C)=},P(AB) 准，2精红镶的种数为C,C,6好州所求概率为S~:G-器 P(BC)=0.P(AC)=号，求A,B.C至少有一个发生的额半. 12°8在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个.(1)求 恰有90个次品的概事，(2)求至少有2个次品的概率。 要点用字母表示率件，是本课程入门的又一关健。由“至少”联想“U”, 要点 基本事件：从1500个产岛中任进200个，组合同题：由“至少”联想 遵而想到公式： P(A)=1-P(A P(A UB UC)-P(A)+P(B)P(C)-P(AB)-P(BC)- 解 S中个数C P(AC)+PCARC) (1)有90个次品的选法种数C。·C,所求概率为C·C/C: 解至少有一个发生，A【1B1 P(AU BUC)- P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)- (2)没有次品的概率P0一C/C。 P(BC)-P(AC)+P(ABC) 有一件次品的概率p:一C·C8/C8 至少有两件次品的概率 -分+分+寻-0-0-音+0-吾 p-1-p一p-1-C0/Cw。一C1·C8/C8o 其中 P(ABC)≤P(AB)=O→P(ABC)-O 13⊙9从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成 85在一标雅英语词典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词， 一双的每率是老少 解法1 样本点总数为P。,记A一“4只鞋子中至少有2只是一双”，则对 立事件A=“4只鞋子均不成双”，故第一只鞋子是从5双(10只)中任取一只 要点题8⊙5一题1612为古典概型所对应习题，PA)=分千，分子 有10种取法，第二只鞋子从剩下的4双(8只)中任取一只，有8种败法，第三只 一A中基本事件个数，分母一S中基本事件个数，首先要弄清燕本事件是什么， 鞋子从再剩下的3双(6只)中任取一只，有6种取法，第四只鞋子有4种数法，故 再用排列组合知识计算网 事件A所包含的样本点总数为10×8×6×4，得 “数” 基本事件，从26中选1，再从(26一1)中选1.S中个数-P,则能排 Pa=1-Pa)-1-18x8x8x9- 上述单词的概率P一亮一品 解法2A中个数是从5双不同鞋子中任取4双，再从每双中任报一只的不 ⊙0 在屯话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率 同取法的种数，共有C×2种取法，故 (设后 四个数中的每一个数都是等可能地取0,1.，9)。 PA)=1-P(a=1-C×2/C- 解所有可能的种数为10×10×10×10种，后四个数全不相同的种数 解法3记A1=“取出的4只鞋子中恰有2只配成一双”，A?=“散出的4 为P则所求缀率为总-器 只鞋子 好配成 -4:UA: A=0 10.6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的妃意章，任选3个 A,中个数为从5双鞋子中任取一双，再从另外4双中取不能配对的两只 记录其纪念章的号码 共有CG-C种取法数从看PA)=CCC尘-异 C。 (1)求最小 号码为 5的率：(2)求最大号码为5的摄率， A:中个数为从5双鞋子中任取2双的取法数，即有C子种取法，从面 样本空问S的样本点总数为C。, (1)最小号码为5是必须取到5号，而其余2人从6~10号中任取，故事件 P(A)=C好/Ci=2 的样本点个数为C,所求城率为=C/C。一立 所以 P(A)=P(A)十P(A=超 (2)最大号码为5，其余2人在14中选号，事件的样本点个数为C,所求 1410 在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽 概率为p:=C/Ca一 7张，求其排列结果为ability的概率. 11.7某油公司发出17桶袖，其中白 解抽法总数为P,则抽到ability的疑率为 在搬运过程中所有标签脱落 0桶惑《桶，红3桶， ,交货人随意将这些袖漆发给顺客，问一个定货4 p=Lx2×2X1X1X1X1=0.00024 P 桶白漆，3桶照藤和2桶红，的鼷客能按所定领色如数得到货的概率是多少， 其中字母b有两种选择，第 一个字母i有两种择 要点从17桶中，选9(-4+3+2)桶，组合问题。 解设已给这些袖漆桶编号，则总的选法种数为C:,有4栖白漆，3桶网 15°11将3个球随机地故人4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别 为1,2,3的概*
12 线性代数·复变晒数·板率统计习题全解（下斯） 香第一章授率论的基本念·习题全解 13 要点球选杯子，面不是杯子选球。 解设3个球已有编号，球最大个数为1的种数为P:,球最大个数为2的 所求概率 种数为CC!C球最大个数为3的种数为C,所以球最大个数为123的 基本事件：掷两顺骰子，观察其点数 率分别为： S中个数=6X6一36 C·C·C A=11,6),(2.5),(3,4),(6,1).(5.2),(4,3)1,A中个数-6 P+CCC+C'P丹+GC·C+'P+C·CC+ AB={(1.6),(61)},AB中个数=2 P1)-吉 P(A) 16⊙1250只钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个钉强度太 解法2将解法1中的A看做样本空同。 弱，每个部件用3只锦钉：若将3只强度太到的卿钉都装在一个部件上，则这个 P(B1A)-串餐-各-吉 中个数 部件强度校太羽。问发生一个部件强度太期的概率是多少？ 解基本事件一“50个钉中任取3个”，S中基木事件个数=C= 20.16据以往资料表明，某一3口之擦，患某种传染病的概率有以下规 19600,令A“一个部件强度太”则A=“先从10个都件中选一个，再把三 排：P(孩子得病}=0.8，P{母亲得病|孩子得病)一0,5，P(父莱得病|母亲及 个期铆灯装在其上”，A中基本事件个数=CC3,则 孩子得树》一0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的凝率 PA-e-g8-10 解设A=“孩子得病”，B=“母亲得病”，C■“父亲得病”，则所求概率 为P(ABC).已知P(A)-0,6,P(B|A)=0.5,P(C1AB)-0.4,则由乘法定 理有 P(AB)P(BIA)P(A)-0.3 §1.5条件概率§1.6独立性 P(ABC)P(CAB)P(AB)-0.12 AB-ABC U ABC.(ABC)(ABC)P(AB)-P(ABC)+P(ABC) P(ABC)=P(AB)-P(AB)=0.3-0.12■0.18 17⊙13已知P(A)=0.3.P(B)-0.4,P(AB)0.5,求P(B1AU 21.17已知在10只品体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只， B). 作不放回抽样，求下列事件的概有， 要点用条件概率的公式将P(B引AUB)写开，然后，缺什么，补什么。 (1)两只都是正品：(2)两只都是次品(3)一只是正品，一只是次品(4)第 二次取出的是次品， 解法1设A一“2正"，B=“2次”，C=“1正1次”，D=“第2次次”，基 由P(A)=0,3,P(B)=0.4,有P(A)-1-P()-0.7,P(B)-1 本事件一“取一只，不放回，再取一只”，S中个数=C,可利用古典凝型公式计 P(B)=0.6.由A=ABUAB,且(AB)(AE)-可，知P(A)=P(AB UAB) =P(AB)+P(AE,于是 算： PA)一串不 P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.5-0.2 DA中个数=G:于是PA)-是-碧 将具体数代人后有：P(B1MUB)一a7+8后-05=专=0.25 1814已知P(A)-,P(BA)=,P(A1B)=之，求P(AUB). ②)B中个数=，于是P()=是= 解P(A)=子>0，由乘法定理有：P(AB)-PA),P(B1A)-立 ac中个数-cG,手是P0)-器-碧 又由PAB)-PAB)P(B)有：P(B)=器=号=音 (4)D一“第一次取出正且第二次取出次”U“第一次取出次且第二次取出 P(A U B)P(A)+P(B)-P(AB)=+= D中个数-9+9，于是P(D)=CG/2+GG2=专 2 1915掷两顺骰子，已知两颗觳子点数之和为7，求其中有一期为1点的 概率（用两种方法）， 解法2设事件如解法1，又设A1一“第1次正”A:=“第2次正”.则瓦 要点解法1，考泡整个样本空向，解法2，将已发生的事件当做样本空间， =“第1次次”，A:=“第2次次”，用舜法公式算 解法1设A=“两颗般子点数之和为？“，B=“有一颗子点数为1”，则 (IP(A)-P(AA)-P(A)P(AIA)-是×号=-器