二、函数展开成幂级数(Expanding to power series) 直接展开法一利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下： 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R; 第三步判别在收敛区间(-R,R)内lim R(x)是否为0. n->o∞ 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 xf )( 展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间 ( － R, R) 内 R n x)(limn → ∞ 是否为0. 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 (Expanding to power series)
例1将函数f(x)=e展开成x的幂级数. 解：fm(x)=e,fm)(0)=1(n=0,1,故得级数 13 1+x+ X2+2X+.+二X 21 +. n! /1 其收敛半径为 =+00 对任何有限数七，其余项满足 Gu n→o0 0 (n+1)川 (5在0与x之间) 故ex=l+x+ 2+ 3++ 2009年7月27日星期一 目录 (上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 x )( = exf 解: ,)()( 展开成 x 的幂级数. n x ∵ = exf ),1,0(1)0( f n)( n == " 1 其收敛半径为 = + ∞ 对任何有限数 x , 其余项满足 n xR )( = ξ e n + !)1( n + 1 x x < e !)1( 1 + + n x n 故 , ! 1 !3 1 !2 1 1 x 32 " x n ++++++= " n xxxe → ∞ = n R lim ! 1 n !)1( 1 n + n → ∞ 0 x ∈ − ∞ + ∞),( (ξ 在 0 与x 之间 ) + x 2 !2 1 + x 3 !3 1 + x " x n +++ " n! 1 故得级数 例1 将函数