一般插值方法2.Lagrange插值公式X-P,(x)=Z事实上：可以得到j=0i=0itj当n=1时，有二点一次（线性)插值多项式：x-Xox-xP(x)三Yo +yiXo - XiXi -xo当n=2时，有三点二次（抛物线）插值多项式：(x-xo)(x -x2)(x-x)(x-x2)x-P(x)(xi -xo(x -x2)(x2 -xo)(x2 - x))(xo -x))(x - x2)另外还有著名的Newton插值和Hermite插值等
事实上: 可以得到 j n j n i j i i n y x x x x P x i j = = − − = 0 0 ( ) ( ) 当 n = 1时，有二点一次（线性）插值多项式： 1 1 0 0 0 0 1 1 1 ( ) y x x x x y x x x x P x − − + − − = 当 n = 2 时，有三点二次（抛物线）插值多项式： 2 2 0 2 1 0 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 2 1 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x P x − − − − + − − − − + − − − − = 另外还有著名的Newton插值和Hermite插值等。 ２. Lagrange插值公式 一、一般插值方法
二、祥条函数与样条插值1.样条函数的概念定义:设给定区间[a,b] 的一个分划△:α= x<xi <·…·<x,=b,如果函数s(x)满足条件：k次多项式;1)在每个子区间[xi-1,x,](i=1,2,,n)上是2)s(x)及直到 k-1 阶的导数在[a,bl上连续。则称 s(x)是关于分划△的一个k次多项式样条函数Xo,Xi，",X,称为样条节点，Xi,X2，,Xn-称为内节点，Xo,X称为边界节点，全体记作Sp(△,k)，称为k次样条函数空间
二、样条函数与样条插值 定义:设给定区间[a,b]的一个分划 a x x x b : = 0 1 n = ， 如果函数 s(x) 满足条件： 1. 样条函数的概念 1)在每个子区间[ , ]( 1,2, , ) 1 x x i n i i = − 上是 k 次多项式； 2) s(x) 及直到 k -1 阶的导数在[a,b]上连续。 则 称 s(x) 是 关于 分划△ 的一 个 k 次 多 项式 样条函数 ， n x , x , , x 0 1 称为样条节点， 1 2 1 , , , − n x x x 称为内节点， n x , x 0 称为边界节点，全体记作 S ( ,k) P ，称为k 次样条函数空间
若 s(x) E Sp(△,k),则 s(x) 是关于△的k次多项式样条函数。一般形式为：Ks (x)=2?j!k!j=0j=12xj, (α,)和(β,)均为任其中(x-x,)),x<x意常数
若 s(x) S ( ,k) P ，则 s(x) 是关于△的 k 次多项式 样条函数。一般形式为： = − = = + − + k j n j k j j j j k x x j k x s x 0 1 1 ( ) ! ! ( ) 其 中 − − + = j j k k j j x x x x x x x x 0, ( ) , ( ) ， j 和 j 均为任 意常数。 1. 样条函数的概念
二次样条：）对于[a,b]上的分划△:α= x<x,<.…<x,=b,则2(-) s(42)S,(x)=α +α,x +2!2(x-x,),x≥xj其中(x-x,)0,x<xj类似地有三次样条：α22鲁(x-x) S(4,3)S,(x) =α +αjx +2!3!31
类似地有三次样条： ( ) ( ,3) 2! 3! 3! ( ) 1 1 2 2 3 3 3 3 = 0 + 1 + + + − − = + P n j j j s x x x x x x S 二次样条：对 于[a,b] 上的分划 a x x x b : = 0 1 n = , 则 ( ) ( ,2) 2! 2! ( ) 1 1 2 2 2 2 = 0 + 1 + + − − = + P n j j j s x x x x x S 其中 − − + = j j j j x x x x x x x x 0, ( ) , ( ) 2 2 1. 样条函数的概念
二，样条函数与样条插值2.样条函数插值（1）二次样条插值：二次样条函数S2(x)可分为两类插值问题：1).给定插值节点x和相应的函数值(或x,)处的导数值yy,(i=0,1,2,,n)，以及端点x。(或y)，求S,(x)E Sp(△,2)使得S2(x) = y,(i = 0,1,2, , n)S2'(xo)= yo'(或s2'(xn) = yn)
2. 样条函数插值 （1）二次样条插值: 二次样条函数 ( ) 2 s x 可分为 两类插值问题： 1). 给 定 插 值 节 点 i x 和 相 应 的 函 数 值 y (i 0,1,2, ,n) i = ，以及端点 0 x (或 n x )处的导数值 0 y' (或 n y' )，求 ( ) ( ,2) s2 x SP 使 得 = = = = '( ) '( '( ) ') ( ) ( 0,1,2, , ) 2 0 0 2 2 n n i i s x y s x y s x y i n 或 二、样条函数与样条插值