第三章微分中值定理与导数的应用罗尔中值定理推广泰勒公式拉格朗日中值定理中值定理(第三节)柯西中值定理研究函数性质及曲线性态应用利用导数解决实际问题
第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用
第三章第一节中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格日中值定理寶三、柯西(Cauchy)中值定理HIGH EDUCATION PRESS上页机动目录下页返回结束
一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章
一、罗尔(Rolle)定理费马（fermat）引理e4.P在U（X）有定义y=f(x)F'(xo)= 0存在F(xo)且f()≤f(xe),(或≥)证：设vxo +AxEu (x)f(xo+Ax)≤ f(o)Xo0F(xo+Ax)-f(xo)则limf'(ao)Ax4x-0(4x→00)f(xo)0f'(xo)= 0(4x- 0t)f(xo)0证毕HIGH EDUCATION PRESS上页费马目录下页返回结束
费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 在 ∪ (𝑥0) 有定义 , 且 𝑓 ′ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0) , (𝑥0) 存在 (或 ≥ ) 𝑓 ′ (𝑥0) = 0 证: 设 ∀ 𝑥0 + 𝛥𝑥 ∈∪ (𝑥0) , 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0) , 则 𝑓 ′ (𝑥0) = lim 𝛥𝑥→0 𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥0) 𝛥𝑥 = (𝛥𝑥 → 0 −) 𝑓− ′ (𝑥0) (𝛥𝑥 → 0 + 𝑓 ) + ′ (𝑥0) 0 0 𝑓 ′ (𝑥0) = 0 𝑥 𝑦 𝑜 𝑥0 𝑦 = 𝑓(𝑥) 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
y=f(x)罗尔（Rolle）定理满足y=f(x)(1)在区间[α,b]上连续D(2)在区间(α,b) 内可导(3) f(a)=f(b)在(α,b)内至少存在一点，使f')=0.证：故在[α，b]上取得最大值因于(x）在la，b上连续M和最小值m若M=m,则f(o)=M,xEla,b]因此Eab)f=0HIGH EDUCATION PRESS上页机动目录下页返回结束
罗尔（ Rolle ）定理 𝑦 = 𝑓(𝑥) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 𝜉 , 使 𝑓 ′ (𝜉) = 0. 𝑥 𝑦 𝑜 𝑎 𝑏 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝜉 证: 因 𝑓(𝑥) 在 [𝑎 , 𝑏] 上连续 ， 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 𝑓(𝑥) ≡ 𝑀, 𝑥 ∈ [𝑎 , 𝑏] , 因此 ∀𝜉 ∈ (𝑎 , 𝑏) , 𝑓 ′ (𝜉) = 0 . 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若 M>m,则 M和 m 中至少有一个与端点值不等使则至少存在一点不妨设EE(a,b)M=f(a)FO=0则由费马引理得f()=M注意：例如,结论不一定成立1）定理条件条件不全具备X.0≤<1f(x)0,x=10f()=1xlf(x)=xXE[-1,1]E[0,1]0CHIGH EDUCATION PRESS上页机动目录下页返回结束
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 𝑀 ≠ 𝑓(𝑎) , 则至少存在一点 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏) , 使 𝑓(𝜉) = 𝑀, 𝑓 ′ (𝜉) = 0 . 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 𝑓(𝑥) = ቊ 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < 1 0 , 𝑥 = 1 1 𝑥 𝑦 𝑜 则由费马引理得 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥 ∈ [−1 , 1] 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥 ∈ [0 , 1] 1 𝑥 𝑦 −1 𝑜 1 𝑥 𝑦 𝑜 机动 目录 上页 下页 返回 结束