微积分-习题1

作业P152习题12. 4. 5. 7.复习：P142-152预习：P152-155

作业 P152 习题1 2. 4. 5. 7. 复习：P142-152 预习：P152-155

第十五讲几种积分的统一概念向量场的微积分一、向量场福二、第二型曲线积分

第十五讲 二、第二型曲线积分 几种积分的统一概念 一、向量场 向量场的微积分

[例2]计算曲面积分]I = [J(x + y" +z)ds其中S为球面x2+y2+=2Rz(R>0)[解|球面S的参数方程为x=Rsin@cose(0≤@≤元, 0≤0≤2元)y= Rsin@sinez =R+Rcos@计算得dS = R’sin@dpd球面坐标系下I = [f(x* + y" +z)ds = [[ 2RzdsSS2元del2R(1 + cos@)R' sinpdp = 8元R

[例2]计算曲面积分  = + + S I (x y z )dS 2 2 2 2 ( 0) 2 2 2 其 中S为球面x + y + z = Rz R  [解]球面S的参数方程为      = + = =      cos sin sin sin cos z R R y R x R (0     , 0    2 ) 计算得dS R sindd 2 =   = + + = S S I (x y z )dS 2RzdS 2 2 2 4 =   + = 8R       0 2 2 2 0 d 2R (1 cos )R sin d 球面坐标系下

[例3] 计算曲面积分 I=]其中S为圆柱面2+2=R2界于z=0及z=H之间的部分,r为S上的点到原点的7距离H[解l r=x?+y?+z?=/R +zM1y?as[==]ds2-R?+2Sx怎样计算这个曲面积分？

[例3]计算曲面积分  = S r dS I 2 . , 0 2 2 2 距 离 之间的部分 为 上的点到原点的 其 中 为圆柱面 界 于 及 z H r S S x y R z = + = = x H o z y • M r [解] 2 2 2 2 2 r = x + y + z = R + z dS r R z dS I S S   + = = 2 2 2 1 怎样计算这个曲面积分？

x =Rcos0圆柱面的参数方程头y=RsineZ=Z(0≤0≤2元0≤z≤H)dS = Rdedz.柱面坐标系下112元HI=JdeRdzds22R?R20?7.+zSZ=H1HZ?2元R=dz = 2元R.arctan2R?0+zRRz=0H= 2元 arctanR

圆柱面的参数方程为     = = = z z y R x R   sin cos (0    2 , 0  z  H) dS = RddzdS R z I S  + = 2 2 1   + = H Rdz R z d 0 2 2 2 0  1   + = H dz R z R 0 2 2 1 2 z H R z z R R = = =  0 arctan 1 2 R H = 2 arctan 柱面坐标系下