二、代数扩域X定义15.7：当域F的扩域K中每个元素都是F的代数元时，称K为F的代数扩域当α1....，αn为域F上的代数元时,记F(α...,α)为包含F和α...α的最小代数扩域当n=1时，又称它为F的单代数扩域
❖ 二、代数扩域 ❖ 定义15.7：当域F的扩域K中每个元素 都是F的代数元时,称K为F的代数扩域。 当1 ,., n为域F上的代数元时,记 F(1 ,., n )为包含F和1 ,., n的最小 代数扩域,当n=1时,又称它为F的单代数 扩域
定理15.7：已知α为域F上的代数元+P(x)EF[×]为α在F上的极小多项式,degp(x)=n>1,则(1)F(α)≥F[×)/(p(x))(2)F(α）中的元素可唯一表示为ao+aα+...+an-1αn-1,其中a,eF,0≤i<n-1。证明：（1）利用环同态基本定理构造F[β到F(α)的映射:p(f(x)=f (α)证明?是同态映射证明Kerp=（p(x）域上的多项式环都是主理想环证明（F[风)=F（α）
❖ 定理15.7:已知为域F上的代数元 ,p(x)F[x]为在F上的极小多项式 ,degp(x)=n>1,则: ❖ (1)F()≌F[x]/(p(x))。 ❖ (2)F()中的元素可唯一表示为 a0+a1+.+an-1n-1 ,其中aiF,0≤i≤n-1。 ❖ 证明:(1)利用环同态基本定理. ❖ 构造F[x]到F()的映射:(f (x))=f () ❖ 证明是同态映射. ❖ 证明Ker=(p(x)) ❖ 域上的多项式环都是主理想环 ❖ 证明(F[x])=F()
推论15.3：在定理15.7中当degp(x)=n时[F(α):F]=n
❖ 推论15.3：在定理15.7中当degp(x)=n时 [F():F]=n
定理15.8:F(α)与F(β)是域F上的两个单代数扩域，α与β在F上具有相同的极小多项式p(x)EF[X],则:F(α)≥F(β)。证明：设degp(x）=n，由定理15.7知F(α)≥F[x]/(p(x))由定理15.7知F[×J/(p(×））F（β）因此F(α）≥F(β）
❖ 定理15.8:F()与F()是域F上的两个单代 数扩域, 与在F上具有相同的极小多项 式p(x)F[x],则:F()≌F()。 ❖ 证明:设degp(x)=n,由定理15.7知 ❖ F()≌F[x]/(p(x)) ❖ 由定理15.7知F[x]/(p(x))≌F() ❖ 因此F()≌F()
定理15.9:域F=F,β为其同构映射，α，β分别为F与F的代数元，其极小多项式分别为n-并且p(a;)Zaxi,Zajxi, p(x) =p(x) =i=1i=1则F(α)兰F(β)=ai,i= l,..,n-l,p(ai)=a要注意定理中的要求：如果不满足此条件，结论不一定成立
❖ 定理15.9:域F≌F' ,为其同构映射,,分 别为F与F'的代数元,其极小多项式分别为 : p(x) a x , n 1 i 1 i i − = = − = = n 1 i 1 i i p(x) a x , (a ) 并 且 i a ,i 1, ,n 1, = i = − 则F()≌F'()。 要注意定理中的要求: = ai (a ) i 如果不满足此条件,结论不一定成立