第四节第四章有理函数的积分基本积分法换元积分法直接积分法；分部积分法求导初等函数初等函数积分本节内容有理函数的积分一可化为有理函数的积分举例HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第四节 • 基本积分法 : 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章 直接积分法 ;
有理函数的积分一、有理函数n-P(x)+...+anaoxf01R(x) =box" +bx-I +.+ bmQ(x)m≤n时, R(x)为假分式; m>n 时, R(x)为真分式有理函数多项式＋真分式相除分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为AMx+N(kEN+,p~-4q<0)+px+q)x-aHIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1 m m m b x + b x + + b 0 1 −1 有理函数: m n 时, R(x) 为假分式; m n 时, R(x) 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( , 4 0) 2 − + k N p q 若干部分分式之和
例1.将下列真分式分解为部分分式：1x+33(2)x(x-1)?(1+2x)(1+ x2)x2 -5x+6解：（1)用拼凑法1x-(x-1)x(x-1)2x(x-1)x(x-1)(x-1)x-(x-1)(x-1)x(x -1)1(x-1)xx-HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : ; ( 1) 1 (1) 2 x x − ; 5 6 3 (2) 2 − + + x x x . (1 2 )(1 ) 1 (3) 2 + x + x 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1)
(2)用赋值法Bx+3x+3x2-5x+6(x -2)(x -3)x-3x-x+3A=(x-2)·原式x-3|x=2 =-x=2x+3B=(x-3)·原式Cx=3x=3x-215原式=故x-2x-3HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x
(3)混合法Bx + C(1 + 2x)(1+ x2)1+2x1+xA=(1+2x)·原式X分别令x=0,1代入等式两端BAB+21542x-1原式=51+2x1 +x2HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (3) 混合法 = (1+ 2 )(1+ ) 1 2 x x + + x A 1 2 2 1 x Bx C + + A = (1+ 2x)原式 2 1 x = − 5 4 = 分别令 x = 0,1代入等式两端 = +C 5 4 1 15 2 4 6 1 B +C = + 5 2 B = − 5 1 C = 原式 = 1 2x 4 5 1 + + − − 2 1 2 1 x x