第一章第七节无穷小的比较引例x→0时,3x,x2,sinx都是无穷小，但sin xlimlim=03xx-→0 3xx-0sin xlim8x-0可见无穷小趋于0的速度是多样的HIGHEREDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第一章 x → 0时, 3x, x ,sin x 2 都是无穷小, 第七节 引例 . x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较
定义.设α，β是自变量同一变化过程中的无穷小B=0,则称 β是比αi若lim，记作高阶的无穷小，aβ= o(α)B若 limP=80.则称β是比 α 1低阶的无穷小α若 limB=C 0 则称β是α 的同阶无穷小;aβ若 lim=C≠0,则称 β是关于 α的 k阶无穷小Qrβ若 lim=1,则称 β是α 的等价无穷小,记作 α～βα或β~αHIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 lim = C 0, k 定义. lim = 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, = o() lim = , 若 若 若 lim =1, 若 ~ ~ lim = C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作
例如,当x→0 时x3 = 0(6x2) ;sinx ~ x : tanx ~ xarcsinx ~ x又如X2sin-cosx2lim- lim4(x-0x-0是关于x 的二阶无穷小，且故 x →0时 1-cos x1- cos x ~HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 x → 0 时 1− cos x 是关于 x 的二阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且
例1. 证明:当x→0 时,/1+x-1 ~=n/1+x-1证：lim-x-→0nn-2b +...+bn-1a"-bn =(α-b) (an-l+分子=x(r/1+x)n -1= limx-0Ix [("/1+x) +("/1+x)-2 +..+1:.当x→0时，n/1+x-1~HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1. 证明: 当 x → 0 时, 1+ −1 n x ～ . 1 x n 证: 0 lim x→ 1+ −1 n x x n 1 0 lim → = x ( 1+ ) −1 n n x x n 1 ( ) 1 1 − + n n x ( ) 2 1 − + + n n x ++1 当x →0时, 1+ −1 n x ～ x n 1 − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n b =1 分子= x
例2.证明：e*-1 ～ x.证:令 y=ex_1,则x=ln(1+y),且x→0时,y→0因此limlimlimy-0 1In(1+ y)x-0y-→>0 ln(1+ y)x一= limlney→0 ln(1+ y)即有等价关系：e-1～ x说明：上述证明过程也给出了等价关系ln(1 + x) ~ xHIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2. 证明: e 1~ x. x − 证: = e −1, x 令 y 则x = ln(1+ y), 且x → 0时, y → 0, 0 1 lim e x x→ x − ln(1 ) lim 0 y y y + = → y y y 1 ln(1 ) 1 lim 0 + = → ln e 1 = =1 x x e −1 ~ ln(1+ x) ~ x 目录 上页 下页 返回 结束 因此 即有等价关系: 说明: 上述证明过程也给出了等价关系: ln(1 ) 1 lim 1 0 y y y + = →