第五章第二节微积分的基本公式一、 引例二、积分上限的函数及其导数业三、牛顿一莱布尼茨公式HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 一、引例 第二节 微积分的基本公式 第五章
一、引例在变速直线运动中，已知位置函数 s(t)与速度函数v(t)之间有关系s'(t)= v(t)物体在时间间隔[T，T,]内经过的路程为v(t)dt = s(T2) - s(T)这里s(t)是v(t)的原函数这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 s(t) 与速度函数 v(t) 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 [ , ] T1 T2 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 这里s(t)是v(t)的原函数
二、积分上限的函数及其导数定理l.若f(x)EC[a,bl,则变上限函数y=f(x)VD(x)=J,f(t)dtd(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数0b xaXE证： Vx,x+he[a,b],则有x+hΦ(x +h) -Φ(x)cx+hf(t)dt-ff(t)dt )hx+hf(t)dt=f() (x<=<x+h)hx-:f(x)eC[a,b]0(x+h)-Φ(x) = lim f(E) = f(x):. Φ'(x)= limhh-0h>0HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (x) x x + h 二、积分上限的函数及其导数 f (x)C[a, b], 则变上限函数 = x a (x) f (t)dt 证: x, x + h[a, b], 则有 h (x + h) −(x) h 1 = − + x a x h a f (t)dt f (t)dt + = x h x f t t h ( )d 1 = f () (x x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim ( ) 0 f h→ (x) = = f (x) 定理1. 若 是 f (x)在[a, b]上的一个原函数 . f (x)C[a, b] y = f (x) a b x y O
说明：1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路2）其他变限积分求导ddTf(t)dt =-f(x)dp(x)f(t)dt = f[p(x)lp'(x)dxCp(x)p(xCf(t)dtf(t)dt =f(t)dt+dxy(xy(x)a= f [p()lp(x)- f[y(x)ly'(x)HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导: b x f t t x ( )d d d = − f (x) ( ) ( )d d d x a f t t x = f [(x)](x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x = f [(x)](x) − f [(x)](x) + = ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x
d10-0limcosx例1. 求x-0-cos"x洛_lim(-sinx)解：原式2e2xx-0确定常数α,b，c的值,使例2.ax -sinx0-0lim=c (c±0)x-0('ln(I+t?)d t解:：x→0时,ax-sinx→0,c±0,.b=0a-cosxa-cosx洛=lim= lim原式=Cx→0 In(1 + x2)x-00,故 α=1. 又由1-cosx～x2,得 c=HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束说明
目录 上页 下页 返回 结束 e ( sin ) 2 cos x x − − 例1. 求 0 lim x→ t x t e d 1 cos 2 − 2 x 解: 原式 0 lim → = − x 0 0 2x 2e 1 = 说明 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 ( 0). ln(1 ) d sin lim 0 2 = + − → c c t t a x x x b x 解: x →0时,ax −sin x →0, c 0, b = 0. 0 0 原式 = ln(1 ) cos lim 2 0 x a x x + − → c x a x x = − = → 2 0 cos lim c ≠0 , 故 a =1. 又由 2 2 1 1− cos x ～ x , 得 . 2 1 c = 洛 洛