第四节有理函数的积分1.有理函数的积分法2.三角函数有理式的积分法3.简单无理函数的积分法4.小结、作业1/32
第四节 有理函数的积分 1. 有理函数的积分法 2. 三角函数有理式的积分法 3. 简单无理函数的积分法 4. 小结、作业 1/32
有理函数的积分法一、不1、有理函数的定义2、有理函数的分类P(x)n- +...+an-x+a,ax"+aQ(x)b,xm +bxm-1 +...+bm-fx+bm其中a±0，b≠0.(1)真分式；n<m,-(2) n≥m,假分式；2/32
2、有理函数的分类： m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 一、有理函数的积分法 其中 0 a0 ， 0 b0 . (1) n m,——真分式； (2) n m,——假分式； 1、有理函数的定义； 2/32
3、有理函数积分法多项式除法假分式多项式（+真分式）：(1)待定系数法真分式部分分式之和(2)↓分母因式分解P(x)真分式=Q(x)P(x)bo(x - a)a1 ...(x - a)a (x + pix+qi)B1 ...(x? + Pnx+qn)Bn（其中x2+p,x+qi，i=l,.,h为不可约因式3/32
3、有理函数积分法 (1) 假分式 多项式 （ 真分式）; 多项式除法 → + 真分式 部分分式之和： 待定系数法 (2) → k h b x x k x p x q x ph x qh x x x ( ) ( ) ( ) ( ) P( ) Q( ) P( ) 2 1 1 2 0 1 1 1 − − + + + + = 分母因式分解 真分式 , 1, , ) （其中 x 2 + pi x + qi i = h 为不可约因式 3/32
(4）真分式化为部分分式之和的待定系数法：分母因式分解x+3x+3例1=x2-5x+6(x-2)(x-3)部分分式之和BA十=x-3x-2（比较条数法）用分母乘两边x+3=A(x-3)+B(x-2)Ix+3=(A+B)x-(3A+2B)[A+B=1,A=-5比较系数IUB=6-(3A+2B)= 3,6x+3-5x2-5x+6x-3x-26/32
(4) 真分式化为部分分式之和的待定系数法: 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x 分母因式分解 x , 2 − 3 + − = x B x 部分分式之和 A x + 3 = A(x − 3) + B(x − 2), 用分母乘两边 x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B 例1 比较系数 （ 比 较 系 数 法 ） , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 6/32
或由x+3=A(x-3)+B(x-2)令 x =3, 得 3+3=B(3-2),=→B=6;（赋值法）令 x =2, = A=-5.7/32
由 x + 3 = A ( x − 3 ) + B ( x − 2), 令 x = 3, . 或 （赋值法） 得 3 + 3 = B ( 3 − 2), B = 6 ; 令 x = 2, A = − 5 . 7/32