S 6 重积分的应用应用重积分可求立体的体积及空问物体的质量，还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之问的引力等。曲面的面积ii重心转动惯量引力四、返回前页后页
前页 后页 返回 §6 重积分的应用 应用重积分可求立体的体积及空间物 体的质量, 还可求曲面的面积、立体的重 心、转动惯量和物体之间的引力等. 一． 曲面的面积 二． 重心 三． 转动惯量 四． 引力 返回
一、曲面的面积设D为可求面积的平面有界区域，f(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程z= f(x,y),(x,y)eD所表示的曲面S的面积(1)对区域D作分割T，把D分成n个小区域;(i=1,2,,n).这个分割相应地将曲面S也分成n个小曲面片 S,(i =1,2,,n)(2)在每个S,上任取一点M，作曲面在这一点的切后页返回前页
前页 后页 返回 一、曲面的面积 设D 为可求面积的平面有界区域, f x y ( , ) 在 D 上 具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程 z f x y x y D = ( , ) , ( , ) 所表示的曲面 S 的面积. (1) 对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域 i ( 1,2, , ) i n = . 这个分割相应地将曲面S 也分成 n 个 小曲面片 ( 1,2, , ). S i n i = Si Mi (2) 在每个 上任取一点 , 作曲面在这一点的切
平面 元;, 并在元,上取出一小块A,,使得 A,与 S,在xy平面上的投影都是；（见图21-38).在点M,附近用切平面A,代替小NS: z=f(x,y)曲面片S，从而当TA,M充分小时,有S,0AS-ZAS, ~Z,xD0;i=1i-1y这里△S,△S,△A,分别图21-38后页返回前页
前页 后页 返回 近用切平面 Ai 代替小 曲面片 , Si 从而当 T 充分小时, 有 1 1 , n n i i i i S S A = = = 平面 i , 并在 i 上取出一小块 Ai , 使得 Ai 与 Si 在 , , 这里 S S A i i 分别 图 21 38 − x y z S z f x y : ( , ) = D O Ai i Mi Si 平面上的投影都是 i xy (见图 21-38). 在点 Mi 附
表示S,S,,A,的面积n△A;的极限(若存在)(3)当T→0 时,定义和式i=1作为 S的面积现在按照上述曲面面积的概念，来建立曲面面积的计算公式为此首先计算A,的面积.由于切平面元；的法向量就是曲面S在点M,(S,nS)处的法向量n,记它与z轴的夹角为i，则后页返回前页
前页 后页 返回 1 n i i A = (3) 当 T → 0 时, 定义和式 的极限(若存在) 现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的 计算公式. Ai 为此首先计算 的面积. 由于切平面 πi 的法向量就 是曲面S 在点 ( , , ) Mi i i i 处的法向量 n, 记它与 z 作为 S 的面积. , , 的面积. 表示 S S Ai i 轴的夹角为 , i 则
1[0s(m,)=100%- ++(5, )+;(5,n)因为 A, 在 xy平面上的投影为;,所以At = J1+ F(5, n)+ f;(5, n) A0,A, =COSY注意到和数ZAA, =Z/1+f(5i,n:)+ f,(5,n;)Ao,i=1i=1是连续函数 /1+ f(x,J)+f,(x,J)在有界闭域D后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 1 | cos( , ) | | cos | . 1 ( , ) ( , ) i x i i y i i n z f f = = + + , 因为 A xy i i 在 平面上的投影为 所以 2 2 1 ( , ) ( , ) . cos i i x i i y i i i i A f f = = + + 注意到和数 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) n n i x i i y i i i i i A f f = = = + + 是连续函数 2 2 1 ( , ) ( , ) x y + + f x y f x y 在有界闭域D