1.4函数的连续性微积分学研究的主要对象是连续函数与分段连续函数有了极限概念之后，就可以来讨论函数的连续性问题
1.4 函数的连续性 微积分学研究的主要对象是连续函数与分 段连续函数. 有了极限概念之后, 就可以来讨论函数的 连续性问题
当我们把函数y=(x)用它的图像来表示时会发现有的函数曲线的大部分是连续不断的，只是在某些地方是断开的y例如：x +1,-8<x≤0f(x)**0<x<+8X,-1x函数在x=0是断开的，但在其它地方是连绵不断的
当我们把函数y=f(x)用它的图像来表示时， 会发现有的函数曲线的大部分是连续不断的， 只是在某些地方是断开的. -1 y x 函数在x=0是断开的，但 在其它地方是连绵不断的. 1, 0 ( ) , 0 x x f x x x + − = + 例如：
1.x±0,g(x) = =h(x)-0,x=0,x在x=0处是断开的，在其他地方是连着的而 (x)=在实数域内都是连绵不断的观察到：g(x)==在x= 0处无定义;xf(x)在x=0点有f(O)=1,但f(x)在x= 0极限不存在;h(x)在x = 0处有h(0) = 0,且 lim h(x) = 1, 但lim h(x) ± h(O)x-0x0而(x)= x2在任意点xE R处都有 lim (x)= (x)X→Xo
而 2 ( ) x x = 在实数域内都是连绵不断的. 1 1, 0, ( ) ( ) 0, 0, x g x h x x x = = = 与 在x=0处是断开的, 在其他地方是连着的. 观察到: f x x f f x x ( ) 0 (0) 1, ( ) 0 在 = = = 点有 但 在 极限不存在; 1 g x x ( ) 0 ; x = = 在 处无定义 0 0 ( ) 0 (0) 0, lim ( ) 1, lim ( ) (0). x x h x x h h x h x h → → 在 = = = 处有 且 但 0 2 0 0 ( ) lim ( ) ( ). x x x x x R x x → 而 = = 在任意点 处都有
函数连续性的定义定义设函数 y= f（x）在x。的某邻域内有定义，且1limf(x)=f(×o），则称函数 f(x)在x连续，称x为f(x)X-Xo的连续点.否则就说函数f(x)在x.是间断的,并称x.为间断点可见，函数f（×）在点×。连续必须具备下列条件(1）f(×）在点×有定义，即f（×）存在;极限 limf（x）存在,即limf(x)= A;(2)XXolimf(x)= f(xo)(3)XXo
一、 函数连续性的定义 可见 , 函数 f ( x) 在点 x0 定义 1: y= f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义 , lim x→x 0 f ( x)= f ( x0 ) , 则称函数 0 f x x ( ) , 在 连续 (1) f ( x) 在点 x0 即 f ( x0 ) (2) 极限 lim x→x 0 f ( x) (3) lim x→x 0 f ( x)= f ( x0 ) . 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 , 且 有定义 , 存在 ; 的连续点. 称x f x 0为 ( ) ( ) 0 lim ; x x f x A → 即 = 0 0 否则就说函数f x x x ( ) , . 在 是间断的 并称 为间断点
函数连续性的增量表示设x=X+△x,则△x=×-X：当x→x,时有△x→0对自变量的增量 △x= ×-×o，有函数f(x)的增量Ay= f(x)- f(xo) = f(×o+△x)- f(xo)函数在点X。连续有下列等价命题1im f(×o+△x)= f(xo)limf(x)= f(xo)△x0X-Xoy y= f(x)1im y= 0Ay△x-0lim f(x)= f(xo)= lim1.f(x)x→xo+0△xx-→xo-左连续0XoXx右连续
Δx= x− x0 , 有函数f(x)的增量 Δy= f ( x)− f ( x0 ) = f ( x0 +Δx)− f ( x0 ) y= f ( x) O x y x0 x Δx Δy lim x→x 0 f ( x)= f ( x0 ) lim Δx→0 f ( x0 +Δx)= f ( x0 ) lim Δx→0 Δy= 0 0 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) x x x x f x f x f x → − → + = = 左连续 右连续 函数 x 在点 0 连续有下列等价命题: 0 0 0 设x x x x x x x x x = + = − → → , . 0. 则 当 时有 函数连续性的增量表示: