S1关于实数集完备性的基本定理在第一章与第二章中，我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯西收敛准则.这三个定理反映了实数的一种特性，这种特性称之为完备性.而有理数集是不具备这种性质的·在本章中，将看重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用·这些定理是数学分析理论的基石。返回前页后页
前页 后页 返回 在第一章与第二章中, 我们已经证明了实数 集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯 西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种特 性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是不具 备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与上述 三个定理的等价性定理及其应用.这些定理是 数学分析理论的基石. §1 关于实数集完备性的基本定理 返回
一、区问套定理与柯西收敛定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性返回前页后页
前页 后页 返回 一、区间套定理与柯西收敛定理 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性
一、区问套定理与柯西收敛定理定义1 设闭区间列[a,b,I满足如下条件：1. [a,, b,]-[an+1, b+il , n =1, 2, ...,2. lim(b, -a,) = 0 ,n8则称{[a,,b,I为闭区间套,简称区间套定义1中的条件1实际上等价于条件a,≤a,≤...≤a,≤...≤b,≤...≤b,≤b.后页返回前页
前页 后页 返回 定义1 n n 设闭区间列 满足如下条件 {[ , ]} : a b 1 1 1. [ , ] [ , ] , 1, 2, , n n n n a b a b n = + + 2. lim( ) 0 , n n n b a → − = {[ , ]} , . n n 则称 a b 为闭区间套 简称区间套 定义1 中的条件1 实际上等价于条件 1 2 2 1 . n n a a a b b b 一、区间套定理与柯西收敛定理
定理7.1(区间套定理)若({[a,,b,Ii是一个区间套则存在唯一的实数，使E e[a,, b,, n = 1, 2,...,或者8(5) = [an, b,].n=1 CEX...b..b....b,b.a,a,a.an+i.证由定义1的条件1可知,数列(a，递增,有上界bi.所以由单调有界定理,可知(a的极限存在前页后页返回
前页 后页 返回 n n+ a a a a 1 2 1 n n + b b b b 1 2 1 定理7.1(区间套定理) {[ , ]} , n n 若 a b 是一个区间套 则存在唯一的实数 , 使 [ , ], 1, 2, , n n = a b n 或者 { } [ , ]. 1 = = n an bn 证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an }递增, 有上界 b1.所以由单调有界定理, 可知 {an } 的极限存在. x
设5=liman,n->0从而由定义1的条件2可得limb, = lim(b, -a,)+ lima, = 5.n-00non>80因为 an递增,b,递减,所以an≤5≤bn这样就证明了的存在性下面来证明唯一性.设也满足an≤5i≤bn,后页返回前页
前页 后页 返回 从而由定义1 的条件2 可得 lim = lim( − ) + lim = . → → → n n n n n n n b b a a 因为 {an } 递增, {bn } 递减, 所以 , an bn 下面来证明唯一性. 设 1 也满足 , an 1 bn lim , n n a → 设 = 这样就证明了 的存在性