概率论与散理统外「 二、分布函数的性质 (1)0≤F(x)≤1，x∈(-oo,oo); (2)F(x)≤F(x2),(x<x2)； 证明由x1<x2→{X≤x{X≤x2, 得P{X≤x}≤P{X≤x2, 又F(x)=P{X≤，F(x)=P{X≤x 故F(x)≤F(x):
(1) 0 F(x) 1, x (,); (2) ( ) ( ), ( ); 1 2 1 2 F x F x x x 证明 由 x1 x2 { } { }, 1 2 得 P X x P X x ( ) ( ). 1 2 故 F x F x { } X x1 { }, X x2 ( ) { }, 1 1 又 F x P X x ( ) { }, 2 2 F x P X x 二、分布函数的性质
根率轮与散理统针」 (3)F(-0o)=lim F(x)=0,F(co)=lim F(x)=1; →-00 X→00 证明F(x)=P{X≤x,当x越来越小时， P{X≤x}的值也越来越小因而当x→-∞时，有 limF(x)=limP{X≤x}=0 X)一00 →X 同样，当x增大时P{X≤x}的值也不会减小，而 X∈(-0，x)当x→0时，X必然落在(-oo,o)内. x
(3) () lim ( ) 0, F F x x F(x) P{X x}, lim ( ) lim { } 0 F x P X x x x o x o x () lim ( ) 1; F F x x 证明 当 x 越来越小时, P{X x}的值也越来越小,因而当 x 时,有 ( , ) , ( , ) . , { } , 当 时 必然落在 内 同 样 当 增大时 的值也不会减小 而 X x x X x P X x
概率论与数理统外「 所以limF(x)=limP{X≤x=1. X→00 (4)lim F(x)=F(xo),(-o<xo<oo). x→x0 即任一分布函数处处右连续. F(x) 0,x<0, 1 p1,0≤x<x, F(x)= P2,x1≤K<x2 1,x≥x2 0 X2
(4) lim ( ) ( ), ( ). 0 0 0 F x F x x x x 即任一分布函数处处右连续. 1, . , , , 0 , 0, 0, ( ) 2 2 1 2 1 1 x x p x x x p x x x F x lim ( ) lim { } 1. F x P X x x x 所以 o x F(x) 1 x 2 x p1 p2 1